SC · Laplace

La función de transferencia

La función de transferencia H(s) = salida/entrada describe el sistema en sí, sin importar qué entrada le apliques. Como la transformada de Laplace convierte la derivada d/dt en una multiplicación por s, una ecuación diferencial se ordena como un cociente de polinomios. En esta lección mueves un solo coeficiente y ves cómo la ecuación diferencial, la función de transferencia, el polo y la respuesta al impulso se mueven juntos, como una sola pieza.

Un sistema, cuatro lenguajes

Si aplicas la transformada de Laplace a la ecuación diferencial dy/dt + a·y = a·x que aparece bajo el deslizador, obtienes la función de transferencia H(s) = a/(s + a); el polo que anula su denominador, es decir, que lo hace 0, es s = −a, y la respuesta al impulso es h(t) = a·e^(−at). La gráfica de arriba marca en el plano s el polo actual (× dorada) y el polo objetivo (× gris), y la de abajo muestra la respuesta al impulso actual (dorada) y la respuesta objetivo (punteada). El coeficiente a empieza en 2,4. Cuando ajustas a al objetivo con el deslizador, el polo y la curva de respuesta caen sobre el objetivo a la vez, porque un solo coeficiente decide todo el sistema.

plano s (× = polo −a)

respuesta al impulso h(t) = a·e^(−at)

coeficiente a2.40

Cuatro representaciones

H(s) = 2.40 / (s + 2.40)

dy/dt + 2.40 y = 2.40 x   ·   s = −2.40

El polo dorado s = −a está lejos del polo objetivo gris. El coeficiente a de la ecuación diferencial es también la constante del denominador de la función de transferencia y la posición del polo, y fija la rapidez con que se apaga la respuesta, así que la curva de abajo tampoco coincide con la punteada. Con una a grande el polo se desplaza a la izquierda y la respuesta sube alto y se apaga rápido; con una a pequeña ocurre lo contrario.

Desviado

Derivar se vuelve multiplicar

Si todos los valores iniciales son 0, la transformada de Laplace convierte la derivada d/dt en una multiplicación por s. Al transformar ambos lados de la ecuación diferencial lineal que obedece un sistema, cada derivada se vuelve una potencia de s y queda una ecuación algebraica en Y(s) y X(s). Al reordenarla como el cociente entre la salida Y(s) y la entrada X(s), sale un cociente de dos polinomios en s, H(s) = N(s)/D(s). Para la ecuación de la primera pantalla, dy/dt + a·y = a·x, de sY + aY = aX se obtiene H(s) = a/(s + a). Una ecuación diferencial engorrosa se reduce a una sola fracción.

ObservaH(s) = Y(s)X(s)

La función de transferencia es la salida dividida entre la entrada.

EligeLaplace: d/dt → ?

En la transformada de Laplace, d/dt se convierte en s.

CompletaY(s) = H(s) ?

La salida es H(s) por la entrada.

Por tu cuentapolos: D(s) = ?

Un polo es una raíz que hace 0 el denominador.

La función de transferencia es el carné del sistema

H(s) = Y(s)/X(s) es la misma función para cualquier entrada, y como no depende de la entrada, puede verse como el sistema en sí. Si entra un impulso, X(s) = 1 y por tanto Y(s) = H(s): la función de transferencia es exactamente la transformada de Laplace de la respuesta al impulso, H(s) = L{h(t)}. Es llevar al dominio s lo que dijo la unidad B1: basta conocer la respuesta al impulso para conocer todo el sistema. Sea cual sea la entrada, la salida es Y(s) = H(s)X(s), y se obtiene con una sola multiplicación en el dominio s. La propiedad 'la convolución es multiplicación' de la unidad C4 se cumple aquí incluso con los transitorios.

Los polos son las raíces del denominador

Cuando se construye la función de transferencia a partir de una ecuación diferencial, el denominador D(s) es justamente el polinomio característico de esa ecuación. Sus raíces, las soluciones de D(s) = 0, son los polos, y como se vio en la unidad anterior, fijan los modos de la respuesta natural y la estabilidad. Las raíces del numerador N(s) son los ceros. Por eso, conociendo los coeficientes de la ecuación diferencial, se factorizan el denominador y el numerador de H(s), se obtienen enseguida los polos y los ceros, y de su posición se lee cómo se moverá el sistema. El sistema de primer orden de la primera pantalla tiene un solo polo, −a, así que mientras a > 0 su respuesta se apagó sin oscilar.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla, al mover el coeficiente a se movieron juntos la ecuación diferencial, la función de transferencia H(s) = a/(s + a), el polo s = −a y la respuesta al impulso a·e^(−at). Eso ocurre porque las cuatro son maneras de escribir el mismo sistema. Gracias a que la transformada de Laplace convirtió la derivada en s y la ecuación en una sola fracción, el sistema se volvió H(s), algo que se maneja con una sola multiplicación. Las raíces de su denominador son los polos, y para cualquier entrada la salida es Y(s) = H(s)X(s).

La función de transferencia H(s) = Y(s)/X(s) es el cociente de las transformadas de Laplace de la salida y la entrada, y es el sistema en sí, independiente de la entrada. Al transformar una ecuación diferencial, d/dt se convierte en s y resulta H(s) = N(s)/D(s), un cociente de polinomios en s. H(s) = L{h(t)} (la transformada de la respuesta al impulso), y para cualquier entrada la salida es Y(s) = H(s)X(s). Las raíces del denominador D(s) = 0 son los polos, y las del numerador N(s) = 0 son los ceros (unidad D2).

Hacia la próxima unidad

Si un sistema se escribe como un H(s), varios sistemas conectados también pueden combinarse al final en un solo H(s). En la siguiente unidad, Diagramas de bloques y realimentación, dibujas los sistemas como cajas y aprendes las reglas: en serie las funciones de transferencia se multiplican, en paralelo se suman y, con realimentación, donde la salida del camino directo H vuelve por un camino G, se combinan como H/(1 + HG). La realimentación es la herramienta central del control: mueve la posición de los polos para volver estable un sistema inestable y rápido uno lento. Ahí es donde la historia de señales y sistemas se convierte en control.