La función de transferencia

Un sistema, cuatro lenguajes

La ecuación diferencial, su transformada de Laplace H(s) = a/(s+a), el polo que anula el denominador y la respuesta al impulso h(t) = a·e^(−at) son todos el mismo sistema. Mueve el coeficiente a y los cuatro cambian juntos. Empareja la respuesta objetivo discontinua y ve que un coeficiente fija todo el sistema.

Derivar se vuelve multiplicar

Con condiciones iniciales nulas, la transformada de Laplace convierte la derivada d/dt en multiplicar por s. Así, transformar ambos lados de la ecuación diferencial lineal que el sistema cumple reemplaza cada derivada por una potencia de s, y la ecuación se vuelve álgebra. Reordenada como el cociente de salida Y(s) sobre entrada X(s), da H(s) = N(s)/D(s), un cociente de polinomios en s. Una ecuación diferencial difícil se ha simplificado en una sola fracción.

La función de transferencia es el carné del sistema

H(s) = Y(s)/X(s) es la misma función sea cual sea la entrada. Al no depender de la entrada, es el sistema mismo. Mete un impulso y X(s)=1, así que Y(s)=H(s): la función de transferencia es exactamente la transformada de Laplace de la respuesta al impulso, H(s)=L{h(t)}. Esto lleva al dominio s la afirmación de B1 de que la respuesta al impulso dice todo el sistema. Y para cualquier entrada la salida es Y(s) = H(s) X(s): multiplicación en el dominio s. La convolución-es-multiplicación de C4 se completa aquí, ahora incluyendo transitorios.

Los polos son las raíces del denominador

Construir la función de transferencia desde la ecuación diferencial hace del denominador D(s) el polinomio característico de la ecuación. Sus raíces —las soluciones de D(s)=0— son los polos, que, como mostró la unidad anterior, fijan los modos naturales y la estabilidad. Las raíces del numerador N(s) son los ceros. Así, conociendo los coeficientes, factorizas denominador y numerador de H(s) para leer polos y ceros de inmediato, y de sus posiciones cómo se comporta el sistema. El sistema de primer orden que viste tenía un solo polo (−a), de ahí el decaimiento simple.

De vuelta a la primera pantalla

Mover el coeficiente a movió la ecuación diferencial, la función de transferencia H(s) = a/(s+a), el polo s = −a y la respuesta a·e^(−at), todos juntos, porque los cuatro son un sistema escrito en cuatro lenguajes. Como Laplace convirtió la derivada en s y la ecuación en una sola fracción, el sistema se volvió un H(s) que manejas con una multiplicación. Las raíces de su denominador son los polos, y la salida para cualquier entrada es Y(s) = H(s) X(s).

Si un sistema se escribe como un solo H(s), entonces varios sistemas conectados también deben colapsar en un H(s). La próxima unidad, diagramas de bloques y realimentación, dibuja sistemas como cajas y aprende las reglas: en serie las funciones se multiplican, en paralelo se suman, y con realimentación —salida devuelta a la entrada— se combinan como H/(1+HG). La realimentación mueve los polos para hacer estable un sistema inestable o rápido uno lento: la herramienta central del control. Ahí señales y sistemas cruzan al control.