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SC · LTI y convolución

La respuesta al escalón

La salida que da un sistema cuando entra un escalón unitario es su respuesta al escalón. Comprueba por ti mismo que es la integral acumulada de la respuesta al impulso y que, en un sistema estable, se asienta en un valor final finito.

¿Se asienta s en su valor final?

La figura de arriba es la respuesta al impulso h(τ) = e^(−0,8τ) sen 3τ, y el área verde desde 0 hasta el instante de deslizamiento t es la respuesta al escalón s(t) en ese instante. La figura de abajo es esa curva s(t). Al hacer crecer t, s sube por encima de una cima, vuelve a bajar y se asienta en el valor final discontinuo de unos 0,311.

respuesta al impulso h(τ)
respuesta s(t) = área acumuladavalor final s(∞)
tiempo t0.30
Valor actual y final
s(0.30) = 0.105 s(∞) = 0.311
Todavía es pronto: la primera cresta de h se está acumulando y s sube rápido. Partiendo de 0, s ya pasa el valor final en t ≈ 0,6, pero aún no da señales de detenerse; es el tramo transitorio en que la salida busca su sitio.
Sin asentar

Un escalón acumula la respuesta al impulso

El escalón unitario u(t) era impulsos acumulados desde la izquierda hasta t (A2). Como el sistema es LTI, a una entrada integrada responde con una salida integrada, así que la respuesta al escalón es la respuesta al impulso acumulada de la misma manera: s(t) = ∫₀ᵗ h(τ) dτ. El área verde de la pantalla dibuja exactamente este valor en cada instante.

Observas(t) = ∫ h(τ) dτ
La respuesta al escalón es la del impulso acumulada.
Eligeh(t) = ?
Deriva la respuesta al escalón para la del impulso.
Completas(∞) = ?
El valor final es el área total de h.
Por tu cuentas = h ?
La respuesta al escalón es la convolución de h con el escalón.

s y h son un par integral-derivada

Acumular es integrar, así que, a la inversa, derivar la respuesta al escalón devuelve la respuesta al impulso: h(t) = ds/dt. En la práctica es difícil fabricar un impulso exacto, pero un escalón es fácil, así que la respuesta al impulso se obtiene a menudo midiendo la respuesta al escalón y derivándola. Igual que el impulso y el escalón eran una pareja en A2, las dos respuestas también lo son.

El valor final es la ganancia DC

En un sistema estable h se apaga hasta 0, así que el área acumulada también se detiene y s se asienta en un valor final finito. Ese valor, s(∞) = ∫₀^∞ h(τ) dτ, es el tamaño de la salida ante una entrada constante (DC), es decir, la ganancia DC. En esta figura ∫₀^∞ e^(−0,8τ) sen 3τ dτ = 3/(0,8² + 3²) ≈ 0,311, y la cima de 0,446 es un sobrepaso de un 43% por encima. El tiempo de subida, el sobrepaso y el tiempo de establecimiento son indicadores prácticos que se leen de esta respuesta al escalón, y el diseño de control vuelve a ellos con detalle.

De vuelta a la primera pantalla

Al sumarse la cresta positiva de h, s subió rápido y pasó el valor final; después se sumó el valle negativo y osciló, y cuando h se apagó hasta 0 se asentó. El área verde hasta el instante de deslizamiento era exactamente s(t) en todo momento. La respuesta al escalón es la respuesta al impulso integrada una vez, derivarla devuelve h, y el valor en que se asienta es la ganancia DC. Así, una sola respuesta al impulso completa la imagen de un sistema LTI en el dominio del tiempo.

La respuesta al escalón s(t) es la salida que produce un sistema LTI cuando entra el escalón unitario u(t), y es la integral acumulada de la respuesta al impulso: s(t) = ∫₀ᵗ h(τ) dτ = (h ∗ u)(t), y a la inversa h(t) = ds/dt. En un sistema estable, s se asienta en un valor final s(∞) = ∫₀^∞ h(τ) dτ finito, la ganancia DC. El tiempo de subida, el sobrepaso y el tiempo de establecimiento son indicadores prácticos que se leen de s.
Hacia el próximo capítulo

Hasta aquí hemos dibujado por completo el sistema LTI en el dominio del tiempo. Con una sola respuesta al impulso y la convolución se puede hallar la salida ante cualquier entrada, pero la convolución da mucho trabajo. El próximo capítulo, Fourier, abre una nueva mirada en la que las señales son sumas de sinusoides. Si a un sistema LTI le entra una sinusoide, sale una sinusoide de la misma frecuencia con solo su tamaño y su fase cambiados, así que la laboriosa convolución del dominio del tiempo se convierte en una simple multiplicación en el dominio de la frecuencia. El punto de partida es la próxima unidad, la serie de Fourier.