La respuesta al escalón
¿Se asienta s en su valor final?
Arriba está la respuesta al impulso h(τ); el área verde hasta el tiempo t es la respuesta al escalón s(t) en ese instante. Abajo está esa curva s(t). Aumenta t y mira a s sobrepasar y luego asentarse en el valor final discontinuo.
Un escalón acumula la respuesta al impulso
El escalón unitario u(t) era el impulso acumulado desde la izquierda hasta t (A2). Como el sistema es LTI, a una integral de la entrada responde una integral de la salida. Así, la respuesta al escalón es la respuesta al impulso acumulada igual, s(t) = ∫₀ᵗ h(τ) dτ. El área verde dibuja exactamente este valor en cada instante.
s y h son un par integral-derivada
Como acumular es integrar, derivar la respuesta al escalón devuelve la respuesta al impulso: h(t) = ds/dt. En la práctica un impulso limpio es difícil de crear pero un escalón es fácil, así que se mide la respuesta al escalón y se deriva para obtener la del impulso. Igual que impulso y escalón eran un par en A2, las dos respuestas también lo son.
El valor final es la ganancia DC
En un sistema estable h decae a 0, así que el área acumulada se detiene y s se asienta en un valor final finito. Ese valor s(∞) = ∫₀^∞ h(τ) dτ es la salida a una entrada constante (DC): la ganancia DC. El tiempo de subida, el sobrepaso y el tiempo de asentamiento en el camino son métricas prácticas leídas de esta respuesta al escalón, revisadas en detalle en el diseño de control.
De vuelta a la primera pantalla
Al sumarse las jorobas positivas de h, s subió rápido y sobrepasó el valor final; luego se sumaron los valles negativos y osciló, y al decaer h a 0 se asentó. El área verde hasta el tiempo de deslizamiento era exactamente s(t) en cada momento. La respuesta al escalón es la del impulso integrada una vez, y derivar devuelve h. Ese valor asentado es la ganancia DC. Con una respuesta al impulso, la imagen en el dominio del tiempo de un sistema LTI queda completa.
Hemos dibujado un sistema LTI por completo en el dominio del tiempo: una respuesta al impulso y la convolución dan la salida de cualquier entrada. Pero la convolución es laboriosa. El próximo capítulo, Fourier, abre una nueva vista donde una señal es suma de sinusoides. Mete una sinusoide a un sistema LTI y sale una sinusoide de la misma frecuencia, cambiada solo en amplitud y fase, así que la engorrosa convolución del tiempo se vuelve una simple multiplicación en frecuencia. El punto de partida es la próxima unidad, la serie de Fourier.