すべての工学系のための道具箱

ベクトルは動きであり数のリスト、基本の方向の組み合わせ

分けて解いて足しても同じ、すべての分解の土台

行列は表ではなく、空間を丸ごと動かす動き

行列式は、その変換が面積を何倍にするか

連立方程式は、変換を巻き戻して入力を見つけること

変換が向きを変えず、伸ばすだけの方向（固有値＝その倍率）

同じベクトルでも、どの基底で読むかで座標が変わり、正しい基底は変換を単純にする

射影は直線や平面の上で最も近い点、残りはつねに垂直で、データに積めば最小二乗になる

どんな行列も回転・軸の伸ばし・回転の三段階、単位円は楕円になり特異値がその半径だ

データの雲で最も広がる方向を探し、主成分は共分散行列の固有ベクトルで、その方向だけ残せば次元が減る

内積は長さと向きの近さを一度に含み、長さを外せばコサイン類似度になり、検索や推薦の核になる

内積は長さ・角・直交を定義する一般の構造、重みを変えれば幾何が歪み、関数もベクトルになる

歪んだ基底から射影を引いて直交正規基底を作る、QR の Q がまさにこれだ

A=QR、直交行列 Q と上三角 R に分ければ最小二乗を安定に解ける

2×2 の面積を超えて n 次元の符号付き体積、余因子展開で計算しクラメルで連立を解く

数・ベクトル・行列はテンソルの梯子の最初の段、外積はランク1を作り行列はその和だ

A=PDP⁻¹で固有基底で見れば変換はただの伸ばし、対称行列は直交固有ベクトルで対角化される

列空間・零空間・行空間に分かれ、階数+退化次数=n、解が0個・1個・無限個かを定める

xᵀAxは固有ベクトルが軸で固有値が曲率の器、符号が最小・最大・鞍を分ける

複素数は平面上の点、掛け算は角度を足し長さを掛ける回転

e^{iθ}=cosθ+i sinθ、フェーザと減衰螺旋へ向かう交流の言葉

関数は格子を曲げても角を保つ（等角）、難問を易しい形へ移して解く

各点が傾きを定め解はその場を流れる、初期条件が曲線を選ぶ

ばねと RLC は同じ式、特性根の位置が減衰と振動を定める

駆動周波数が固有周波数に合うと振幅が爆発、減衰がピークを定める（Q）

連立 ODE は位相平面の流れ、ヤコビアン固有値が固定点の型と安定性を定める

スカラー場は点ごとに数、ベクトル場は点ごとに矢印、場は関数であり流れ

値が最も速く増す向き、等高線に直交、−∇f は降下、∇f=0 は最適点

一点から純粋に漏れ出す量、湧き出しは正・吸い込みは負、小さな輪のフラックスが発散

その場の渦の強さと向き、反時計回りは正・時計回りは負、小さな輪の循環が回転

ベクトルを道に沿って積み上げた仕事、一般に経路に依存するが保存場では経路によらない

内部の発散の総和は境界のフラックス、内部の回転の総和は境界の循環、ガウスとストークスが内と境界を結ぶ

一点が近傍平均からどれだけ高いか低いか、勾配の発散で拡散と調和関数を生む

回転が0の場はポテンシャルの勾配で、経路によらず、閉じた輪の積分は0

勾配の回転と回転の発散はつねに0、どんな場も湧き出し成分と渦成分に分かれる

曲面を貫くフラックス、発散定理は体積の発散の和、ストークスは境界の循環を曲面の回転に結ぶ

標本空間は面積1の板、事象は領域、確率はその面積（和・積・余・条件付き・独立）

離散は PMF の棒、連続は曲線の下の面積が確率、標本↑で密度に収束、CDF は累積

E[X] は確率の重さの釣り合い点、分散は距離²の平均、標準偏差は同単位の幅、aX+b 変換

68-95-99.7 規則、独立の和・標本平均は正規に収束（CLT）、z 標準化、信頼区間

一点の周りに多項式を積み、中心から離れるほど誤差が増す

べき級数は収束半径の内では一つの値に集まり外では発散する、比判定と境界

接線の指す先へ跳んで根へ速く収束、失敗の場合と引き込み領域も

x を g(x) に繰り返し送ると固定点へ収束、傾きが1未満なら吸い込まれる

微分方程式の傾きに沿って直線で一歩ずつ、歩みが大きいと誤差が爆発する

長方形・台形・シンプソンで曲線下の面積を測り、短冊が多いほど正確になる

誤差は刻み幅の次数だけ小さくなる、精度と安定性と費用の綱引き

点を通る関数で空白を埋める、ラグランジュ基底とルンゲ現象、チェビシェフ節点とスプライン

コンピュータの浮動小数点の限界、マシンイプシロンと丸め蓄積、致命的相殺と条件数