e^{iθ} は単位円の上の回転だ
前の講で、複素数の掛け算は回転で、回転が大事なら極形式 r∠θ が便利だと言いました。でも、あの ∠θ という書き方、どこか間に合わせっぽくないですか。本当の公式は別にあります。eiθ です。指数関数に虚数を入れるなんて最初は無茶に聞こえますが、結果はあまりにきれい。eiθ は、単位円の上で角度 θ にある点、ただそれだけです。cos θ + i sin θ と同じ。なぜよりによって指数関数なのか。指数は足すと掛かる性質があるので、回転の「角度は足す」規則が指数法則の一行に落ちるからです。この eiθ が、電気工学が交流を扱うフェーザの本体であり、減衰振動と信号の言葉です。この講では eiθ を単位円の上で自分で回し、なぜこれが回転にとっていちばん自然な表記なのかを感じます。
まず eiθ が何なのかを目で見ましょう。点をつかんで円に沿って回してください。点はいつも半径1の円、単位円の上にあります。角度 θ が、その点の位置です。横にどれだけ行ったかが cos θ、縦にどれだけ行ったかが sin θ。だから eiθ = cos θ + i sin θ、これがオイラーの公式です。覚えることはありません。「eiθ は θ の角度にある単位円上の点」と絵で覚えればいい。θ を0にすれば点は 1（右）、90度なら i（上）、180度なら −1（左）。前の講の r∠θ で r=1 の場合が、まさにこの eiθ で、一般の複素数はそれを r 倍して r·eiθ と書くだけです。
では、角度を時間とともに流してみましょう。θ のところに ωt を入れると eiωt、時間が進むにつれて一定の速さ ω で円を回る矢印になります。これがフェーザです。再生を押してください。矢印がぐるぐる回りますね。ここで肝心なのは、その矢印の影です。実軸に映った影、つまり Re(eiωt) = cos ωt が、左右に行ったり来たり振動します。それこそが交流電圧や信号の波形です。コンセントの60Hz交流も、ラジオの信号も、実はこうして回る矢印の影なのです。電気工学が、ややこしいサイン・コサインの代わりに回る矢印一本で交流を扱う理由がこれ。回すほうが、揺らすより扱いやすいからです。
なぜ指数関数が回転の自然な表記なのか、ここではっきりします。単位円の上の二点 eiθ₁, eiθ₂ を動かしてください。二つを掛けると、どこへ行くでしょう。指数関数のいちばん基本の性質、「掛けると指数が足される」をそのまま使えば、eiθ₁·eiθ₂ = ei(θ₁+θ₂)。積は角度 θ₁+θ₂ にある点です。前の講で手で確かめた「掛けると角度が足される」規則が、ここでは証明するまでもなく、指数法則の一行で出てきます。回転を足し算に変えてくれるこの性質こそ、eiθ 表記の本当の強み。ややこしい三角関数の加法定理を覚える必要はなく、ただ指数を足せばいいのです。
さあ、本当の工学が始まります。ここまでは純粋な回転、大きさは1で一定でした。ところが指数に実部を一つ足すと、e(σ+iω)t になります。ここで ω は相変わらず回る速さ、新しく入った σ は大きさを変える割合です。大きさが eσt だからです。σ を動かして変えてみてください。σ が0なら大きさは変わらず、ただ円を回ります。σ が負なら大きさがだんだん減って内へ巻く螺旋、振動しながら収まる減衰です。σ が正なら外へ広がる螺旋、だんだん大きくなる振動。鐘を打つと音が鳴って収まること、回路の過渡応答、揺れる橋が安定か不安定か、すべてこの σ の符号が決めます。回転（ω）と減衰（σ）を一つの指数にまとめて収めたのが e(σ+iω)t です。
最後に、これらすべてを一つの点に集めましょう。点を動かして θ をちょうど π（半周）に送ってください。「θ = π へ送る」ボタンを押してもいい。eiπ は単位円を半周した点、つまり −1 です。だから eiπ = −1、両辺に1を足せば eiπ + 1 = 0。数学でいちばん美しい式と呼ばれる、オイラーの等式です。なぜ美しいか。自然定数 e、虚数単位 i、円周率 π、そして1と0、まったく別のところから来た五つの定数が、無駄一つなく一行に集まっているからです。でも私たちには、これは神秘の呪文ではなく、ただの絵です。「半周まわれば −1」、それだけ。eiθ を回転として見る目を持てば、いちばん難しく見えた式が、いちばん当たり前の一歩になります。