オイラーの公式 わかりやすく

まず、e^iθ が何なのかを目で見ます。金色の点をつかんで円に沿って回すと、点はいつも半径 1 の円、つまり単位円の上にあります。角度 θ がその点の位置を決めます。横にどれだけ進んだかが cos θ、縦にどれだけ進んだかが sin θ で、二つの軸へ下ろした緑とオレンジの点線がその長さを示し、下に値が表示されます。だから e^iθ = cos θ + i sin θ、これがオイラーの公式です。覚えなくても、e^iθ は角度 θ にある単位円上の点だと絵で記憶すれば十分です。θ を 0 にすると点は右の 1、90 度なら上の i、180 度なら左の −1 です。前の講の r∠θ で r=1 の場合がまさにこの e^iθ で、一般の複素数は大きさを掛けて r·e^iθ と書きます。

次に、角度を時間とともに流します。θ の代わりに ωt を入れると e^iωt、時間がたつにつれて一定の速さ ω で円を回る矢印になり、これがフェーザです。「再生」を押すと矢印がくるくる回り、速さのボタンで回る速さを変えられます。ここで大事なのはその矢印の影です。実軸に落ちた影、つまり Re(e^iωt) = cos ωt が緑の点となって、横軸の上を左右に行き来しながら振動します。まさにそれが交流電圧や信号の波形です。コンセントの 60Hz の交流も、ラジオの信号も、実はこうして回る矢印の影です。電気工学がやっかいなサイン・コサインの代わりに回る矢印一本で交流を扱うのは、このためです。揺らすより回すほうが扱いやすいのです。

なぜ指数関数が回転の自然な書き方なのかが、ここではっきりします。単位円上の二つの点 e^iθ₁, e^iθ₂ をドラッグすると、二つを掛けた点がどこへ行くかが金色の矢印でいっしょに描かれます。指数関数のいちばん基本的な性質、掛けると指数が足されるということをそのまま使えば、e^iθ₁·e^iθ₂ = e^{i(θ₁+θ₂)} です。積は角度 θ₁+θ₂ にある点です。前の講で手で確かめた「掛けると角度が足される」という規則が、ここでは証明するまでもなく指数法則の一行で出てきます。掛け算を角度の足し算に変えるこの性質こそ、e^iθ という書き方の本当の力です。難しい三角関数の加法定理を覚えなくても、指数を足すだけで済みます。

ここから本当の工学が始まります。これまでは純粋な回転だったので、大きさは 1 のままでした。ところが指数に実部をもう一つ乗せると、e^(σ+iω)t になります。ここで ω は相変わらず回る速さで、新しく加わった σ は大きさを変える割合です。大きさが e^σt で変わるからです。下のトラックで σ をドラッグすると金色の曲線が形を変えます。σ が 0 なら大きさは変わらず、ただ円を回ります。σ が負なら大きさがだんだん縮み、内側へ巻き込む渦巻き、つまり振動しながらおさまっていく減衰です。σ が正なら外へ広がる渦巻き、だんだん大きくなる振動です。鐘をつくと音が鳴ってから消えていくこと、回路の過渡応答、吊り橋が安定か不安定か、どれもこの σ の符号が決めます。回転 ω と減衰 σ を一つの指数にいっしょに収めたのが e^(σ+iω)t です。

最後に、これまでのすべてを一つの点に集めます。点をドラッグして θ をちょうど半周の π へ運ぶか、「θ = π へ送る」ボタンを押します。e^iπ は単位円で半周回った点、つまり −1 です。点がそこに届くと、円の上の印が金色に光ります。だから e^iπ = −1、両辺に 1 を足すと e^iπ + 1 = 0 です。数学でいちばん美しい式と呼ばれるオイラーの等式です。美しいのは、ネイピア数 e、虚数単位 i、円周率 π、そして 1 と 0 という、まったく別のところから来た五つの定数が、むだなく一行に集まっているからです。けれども私たちにとって、これは神秘的な呪文ではなく、ただの絵です。半周回れば −1、それがすべてです。e^iθ を回転として見る目を持てば、いちばん難しく見えた式が、いちばん当たり前の一歩になります。