長期の振る舞いは固定点が決める

まず、位相平面という舞台を理解しましょう。横軸は位置 x、縦軸は速度 x' です。ある瞬間のシステムの状態は、この平面の上の一点、状態点で完全に定まります。再生を押してください。減衰振動をするシステムの状態点が動いて曲線を描きます。重りが片側へ押されると（x が大きく、速度0）点は横軸の右端にあり、重りが中央へ速く戻ると（x が0、速度が大きい）点は縦軸の上へ上がります。こうして位置と速度が交互に受け渡しながら、点は原点の周りをぐるぐる回ります。減衰があるのでエネルギーが漏れ、だんだん内側へ巻く螺旋を描き、ついには原点、つまり静止状態へ吸い込まれます。時間軸のグラフで揺れていた曲線が、ここでは内へ巻くきれいな一本の螺旋になります。時間を消す代わりに、運動の全体の形が一目で見えるのです。

状態点がどこへ行くかは、誰が定めるのでしょう。システムの方程式です。C1 の方向場を覚えていますね。あそこでは各点に傾きを一つ与えました。位相平面では一歩進んで、各点に矢印を一本、つまりその点で状態がどの向きへどれだけ速く動くかをまるごと定めます。連立方程式 x'=y, y'=−x−0.4y が平面の全体を矢印で覆うのです。これがベクトル場です。出発点をどこへでも動かしてみてください。状態点はその場の矢印に従い、次の点でまたその場の矢印に従います。そうして矢印を忠実にたどると、軌跡が一本描かれます。川に葉を落とすと流れに沿って流れていくように、状態点もベクトル場に沿って流れます。どの点から出発しても、その点に届いた流れが次の行き先を定めます。C1 の一次元の流れが、ここで二次元の流れに育ちました。

ベクトル場の全体で、ただ一種類の点が特別です。矢印の長さが0の点、固定点です。そこでは状態がどこへも動かないので、一度置かれれば永遠にそのまま。平衡状態です。ところが同じ固定点でも、性格はまったく違います。振り子で見ましょう。下にきれいに垂れた位置は固定点です。そこに置けばじっとしていて、少し触れても周りを回るだけでその場の近くを離れません。これを中心、安定な固定点といいます。ところが振り子を逆さに立てた位置も固定点です。完璧に立てれば理論上はじっとしている。でも髪一本ぶん押しただけで、がらりと倒れて遠くへ逃げます。これを鞍点、不安定な固定点といいます。ボタンで二つの固定点を指してみてください。システムの運命は、出発点がどの固定点の勢力圏にあるか、そしてその固定点がどんな種類かにかかっています。

固定点の近くの流れの形は、いくつかの種類にきっちり分類されます。タブで一つずつ見てください。安定ノードは、すべての矢印が固定点へまっすぐ吸い込まれます。少し触れても文句なく元の位置へ戻ります。安定螺旋は、ぐるぐる回りながら入っていきます。戻りはするけれど揺れながら戻る、C2 で見た減衰振動がまさにこれです。鞍点は、一方向へは吸い込むが別の方向へは弾き飛ばします。ほとんどの出発点が結局は遠くへ逃げる、不安定な点です。中心は、入りも出もせず、永遠に同じ軌道を回ります。減衰のない振動です。不安定螺旋は逆に、ぐるぐる回りながらどんどん外へ弾き出されます。この数種類が、二次元の線形システムが見せうる振る舞いのすべてです。複雑なシステムも、固定点の近くではこの図鑑の一つとして振る舞います。では、どのシステムがどの型かは、何が定めるのでしょう。

ついにすべてが一か所に集まります。固定点の型を定めるのは、その点でシステムを線形化した行列、ヤコビアンの固有値です。線形代数では、固有値は変換がどの方向へどれだけ伸ばすかでした。ここでは、固定点の近くで状態点がどの方向へどれだけ速く弾かれるか、吸い込まれるかを定めます。固有値は2次式 λ²−τλ+Δ=0 の根で、τ は行列の対角和、Δ は行列式です。(τ, Δ) 平面で点を動かしてみてください。位相初像がまるごと変わります。固有値が両方とも負の実数なら（Δ>0, τ<0, 判別式が正）あらゆる方向が縮む安定ノード。固有値が複素数なら（判別式が負）A2・C2 の回転が入って螺旋になり、実部が負なら安定螺旋、正なら不安定螺旋。実部が0の純虚数の固有値なら中心、永遠の振動です。固有値の符号が食い違えば（Δ<0）一方は吸い込み一方は弾く鞍点。C2 の特性根は、実はこのヤコビアン固有値の一次元版で、A2 の複素指数が螺旋の正体でした。線形代数の固有値、複素数の回転、微分方程式の安定性が、すべてこの一枚の絵で出会います。