線形性は「分けてもいい」という約束だ
ここまで行列、行列式、固有値を見てきましたが、実はこのすべてを動かしている、たった一つの性質があります。線形性です。大層な名前ですが、意味は一つ。「分けて別々に処理してから足し合わせても、まとめて処理したのと同じ」ということです。複雑なものを単純な部品に分けて解ける、という約束ですね。2講で、どのベクトルも î と ĵ の組み合わせだと言い、5講で、行列は î と ĵ さえ追えばいいと言いました。それが成り立つのは、まさにこの線形性のおかげです。この講が、その二つをつなぐ橋です。
ある変換が「線形」だというのは、たった二つの規則を守るという意味です。一つ、足してから変換しても、変換してから足しても、結果は同じ。二つ、二倍にしてから変換しても、変換してから二倍にしても、結果は同じ。ここで直接確かめてみましょう。ベクトル a, b をドラッグしながら、二つの経路がいつも同じ場所に着くか見てください。この二つの規則さえ守れば、その変換は線形です。たいしたことなさそうでしょう？ でも、この「たいしたことない」約束が、すべてを可能にするんです。
一つ目の規則を詳しく。ベクトル a と b をまず足してから（a+b）変換する道。そして a と b を別々に変換してから、その結果を足す道。二つの道の行き先が、ぴったり同じです。足し算を先にしようが、変換を先にしようが関係ない。a, b をあちこち動かしてみてください。二つの道はいつも同じ点で出会います。だから、合わさったものを丸ごと扱う必要はなく、部品を別々に扱っていいんです。
二つ目の規則。ベクトル v を3倍に伸ばしてから変換したものと、v を変換してから3倍に伸ばしたもの。これも同じです。入力を二倍にすれば出力もちょうど二倍、三倍なら三倍。むだなくきれいに比例します。スライダーで倍数を変えてみてください。伸ばすのを先にしても後にしても、同じ結果ですね。入力にした分がそのまま出力に映る、これが線形の核心の感覚です。
この二つの規則を合わせると、すごいことが出てきます。どんなベクトルも、2講のように î の部品と ĵ の部品に分けられますね。線形性のおかげで、変換は各部品に別々に作用し、結果を足し合わせるだけでいいんです。つまり 変換(どんなベクトルも) = (その î の量)・変換(î) + (その ĵ の量)・変換(ĵ)。変換が î と ĵ をどこへ送るかさえ分かれば、残りの無限に多いベクトルは、ぜんぶ勝手についてきます。ベクトルをドラッグして、それが î と ĵ の部品に分かれ、変換されて、また合わさるのを見てください。5講で行列が二つの列、î と ĵ の行き先だけでよかった理由が、まさにこれです。線形性が残りを引き受けてくれるんです。
この規則には、工学で使う有名な名前があります。重ね合わせの原理です。入力 A が出力 A を作り、入力 B が出力 B を作るなら、入力 A+B はちょうど出力 A+B を作ります。合わせても、びっくりすることが起きないんです。だから、ごちゃごちゃした入力を単純な部品に分けて、それぞれ解いて、答えを足せば終わり。音を純粋な音に分けること（次のフーリエで出てきます）、回路の複数の電源を別々に計算して足すこと、ぜんぶこの重ね合わせです。逆に、線形でないものはこれができません。二乗を見てください。(a+b)² は a²+b² ではありませんよね。合わせると、とんでもないものが飛び出します。だから、私たちがきれいに解ける問題は、ほとんどが線形なんです。