確率は面積だ

まず板を作ります。起こりうるすべての結果の集まりを標本空間といい、ふつう Ω と書きます。サイコロを二つ振れば、結果は (1,1) から (6,6) まで36通り。各マスが一つの結果で、すべて同じく起こりやすいので、各確率は 136 です。36マスを全部足せば1、必ず何かは出るからです。でも結果がいつも数えられるとは限りません。0 と 1 の間の実数を一つ選ぶように、結果は連続のこともあります。そのときは標本空間をマスではなく、単位正方形のような領域まるごととして見ます。タブを押して二つの場合を比べてみてください。数えられても連続でも、核心は同じ。Ω は可能なすべての結果を収めた板で、その全体の確率は常に1です。この「全体が1」が、すべての計算の出発点です。

では事象を見ましょう。事象とは、私たちが関心を持つ結果の集まりです。「二つのサイコロの和が7」のような。板の上で、事象はただの一領域です。そして、その事象が起こる確率は、その領域が板の全体に占める面積です。全体の面積を1に合わせてあるので、領域の面積がそのまま確率です。角を動かして事象 A の大きさを変えてみてください。A が板の半分を覆えば P(A) は0.5、4分の1だけ覆えば0.25。本当にそうか、点で確かめられます。板の上にランダムに点をたくさんまくと、A の中に落ちた点の割合が A の面積に近づきます。これがモンテカルロという方法で、コンピュータが難しい確率を求める実際のやり方です。確率を「面積」、あるいは「領域に落ちる割合」として見れば、抽象的だった数が、目に見える面積になります。

事象が領域なら、事象を組み合わせるのも領域を組み合わせることです。二つの事象 A と B を重ねて置き、ボタンを押してみてください。A「または」B、つまり和集合 A∪B は、二つの領域を合わせた面積です。ただし重なった部分を二度数えてはいけないので、P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)、重なった分だけ一度引きます。A「かつ」B、つまり積集合 A∩B は、二つの領域が重なった部分の面積です。両方が同時に起こる場合ですね。A「でない」、余事象 Aᶜ は、板の全体から A を除いた残りなので、P(Aᶜ) = 1 − P(A)。言葉で聞くと紛らわしい「または・かつ・でない」が、絵では、ただ領域を合わせ、重ね、切り抜く作業です。ベン図は伊達ではありません。確率の論理は、実は面積の幾何学なのです。

では、最も紛らわしく、しかし最も強力な概念、条件付き確率です。「B が起きたと分かっているとき、A が起こる確率」を P(A|B) と書きます。絵で見ればとても簡単。B が起きたという情報は、私たちの世界を丸ごと B に縮めてしまいます。もう B の外は起きていないので、舞台からすっかり片づけます。トグルを入れると、B の外が暗くなり、板が B に縮むのが見えます。縮んだ新しい世界 B の中で、A は A∩B の部分しか占めません。だから P(A|B) = 面積(A∩B)面積(B)、積集合を新しい全体である B で割ります。分母が1(全体 Ω)から P(B) に変わっただけです。条件付き確率とは「全体を B として取り直し、確率を測り直すこと」です。新しい情報が来たら標本空間を縮めて計算し直す、これがベイズ推論とすべての統計的学習の種です。

最後に独立です。二つの事象が独立とは、一方が起きたと分かっても、もう一方の確率が変わらないという意味です。P(A|B) = P(A)。B という情報が A について何も教えてくれない。絵で作ってみましょう。縦線で板を割り、左の帯を A とすれば P(A) はその帯の幅です。横線で割り、下の帯を B とすれば P(B) はその帯の高さです。二本の線を動かしてみてください。A と B が同時に起こる領域 A∩B は左下の長方形で、その面積は幅かける高さ、つまり P(A) × P(B) です。これが独立の核心。P(A∩B) = P(A) · P(B)。掛けるだけ。横と縦が互いにまったく干渉しないので、積集合の面積がそのまま二辺の積になるのです。コインを二回投げるとか、無関係な二つの部品の故障のように、一方が他方に影響しないとき、確率はただ掛け合わされます。独立は、確率の計算を掛け算一回で終わらせてくれる、最もありがたい仮定です。