複素関数 写像 わかりやすく

まず、関数が平面を変形するとはどういう意味かを見ます。入力平面にまっすぐな方眼の格子を敷いて関数を一つ選ぶと、その格子が移った姿が金色の曲線で描かれます。z² を選ぶと格子はなめらかに曲がって曲線の格子になり、1z を選ぶと原点の近くが外側へ裏返り、e^z を選ぶと格子が扇のように広がります。下のボタンで三つを切り替えられます。大事なのは、まっすぐな直線が曲線に変わるという点です。関数が平面を曲げたのです。ふつうの関数のように「x を入れると y が出る」ではなく、「平面全体を丸ごと別の形に変える」、これが複素関数を見る目です。

変形の中でいちばん基本となる z² をくわしく見ます。青い点 z をドラッグすると、金色の z² がいっしょに動きます。規則は、前の二つの講ですでに手になじんだものです。極形式で z = r∠θ なら、z² = r²∠2θ です。角度は 2 倍になり、大きさは二乗になります。原点のそばの青い弧と金色の弧が二つの角度を表し、下の二行にその値が表示されます。θ を 30 度に置くと z² は 60 度、θ を 90 度に置くと z² は 180 度です。これが格子を曲げるのは、点ごとに角度が 2 倍に開くので、まっすぐな線が扇のように広がりながら曲がるからです。前の講で、e^iθ を二回掛けると角が二回足されると述べました。z² は z を自分自身と掛けたものなので、角が θ+θ=2θ になるのは当然です。写像とは、結局のところ掛け算を平面全体にいっぺんに施したものなのです。

いよいよ写像の本当の宝石、等角性を見ます。z² は格子を曲げると言いましたが、z0 を通る横線と縦線が移った姿を見ると、どちらも曲線に曲がっているのに、交わる角は相変わらずちょうど 90 度です。薄い二本の直線が入力で、太い緑とオレンジの曲線が移った姿であり、下に入力と出力の交差角が並んで表示されます。z0 をどこへドラッグしても、入力で直角に交わっていた二本の線は、変形のあとも直角に交わります。これが等角性です。関数が平面をどれほど曲げ、伸ばしても、一点の近くを十分に拡大して見れば、回転と拡大しか起きていないからです。「複素数の掛け算は回転だ」で見たように、回転と拡大は角度を変えません。だから角が保たれます。ただ一か所、原点でだけ崩れますが、それは z² の導関数 2z がそこで 0 になるからです。点を原点に近づけると、その警告が出ます。その例外を除けば、微分可能な複素関数はどこでも角を守ります。

別の種類の変形、1z を見ます。青い点 z をドラッグすると、金色の 1z がいっしょに動きますが、その動きは少し独特です。極形式で見ると、1z は大きさを r から 1r へひっくり返し、角度を θ から −θ に変えます。大きさをひっくり返すという点が核心です。点線で描いた単位円(半径 1)の内側にあった点は外へ、外側にあった点は内へ移ります。原点にぴったり寄った点ははるか遠く無限大のほうへ飛んでいき、とても遠い点は原点の近くへ集まります。単位円が、内と外を入れ替える鏡になっているわけです。角度が −θ に変わるのは、実軸についての鏡映です。このように内外を裏返す写像も等角なので、直角は相変わらず直角のまま残ります。電場や流れの問題で無限に遠いところを扱いにくいとき、1z で裏返して原点近くの有限の問題に変えて解くのに使います。

最後に、エンジニアがなぜこれをそれほど大切にするのかを見ます。水が円柱のまわりを流れる様子を直接求めるのはやっかいです。ところが、何の障害物もない一様な流れ、つまり平行な直線の流線はとても簡単です。等角写像の魔法は、この二つを結ぶところにあります。「一様流」と「円柱まわりの流れ」のボタンで二つの図を行き来すると、w=z+1z という一つの写像が、一様流のまっすぐな流線を、青い円柱を包んで回る金色の流線へ正確に移すことがわかります。だから実際には、易しいほうで答えを求めてから、写像で難しい形へ移すだけで済みます。等角性が角を保つので、流線が境界と交わる角のような物理的な性質がそのまま残り、移した答えは本当に正しいのです。飛行機の翼まわりの空気の流れ、電極まわりの電場、ダムの下の水の流れが、どれもこの方法で解かれます。複素数がただの抽象ではなく、工学の実戦の道具である理由です。