収束半径 とは
冪級数は x の冪を無限に足した式です。1 + x + x² + x³ + ... のように書きます。項を無限に足しても有限な値になる理由は、距離にあります。中心から半径 R だけ離れた内側では項がだんだん小さくなり、和が一つの値に集まります。R の外へ出ると項はかえって大きくなり、和は果てしなく膨らみます。この境界の距離 R が収束半径です。いちばんきれいな例が等比級数 1 + x + x² + ... = 1/(1-x) で、ここでは R=1 です。境界の上 x=±R は別に調べる場所です。部分和が内側では張り付き、外側では跳ねる様子、比判定で R を決める方法、境界の微妙さが下の図にあります。
金色が部分和 SN(x) = 1 + x + ... + xN で、灰色が真の極限 1/(1-x) です。項数 N を上げると、区間 (-1, 1) の内側では N が大きくなるほど金色が灰色に張り付きます。ところが |x|>1 の側では逆です。N を上げるほど金色は上下により急に跳ね、灰色から離れます。観測点 x は動かせます。点が帯の内側なら S は 1/(1-x) に収束し、外側なら発散と出ます。距離に応じて級数が生きるか死ぬかが、この一枚に入っています。
半径は比判定で求めます。隣り合う二項の大きさの比、つまり次の項を今の項で割った値を見ます。Σ xⁿ ではこの比が |x| でいつも一定です。棒は項の大きさ |x|ⁿ です。x のスライダーを動かすと違いが出ます。|x|<1 なら比が 1 より小さく、棒が順に縮んで緑の収束です。|x|>1 なら棒がだんだん大きくなり、赤の発散です。比がちょうど 1 になる |x|=1 が、収束と発散の境界、つまり半径です。その境界で棒は金色になり、比判定はそれ以上を言いません。境界の運命は、後の二つの図で続きます。
今度は半径を数直線の上で直接取ります。級数 Σ(x/a)ⁿ の収束半径は R=a です。中心 0 のまわりの金色の帯が収束区間 (-R, R) です。半径のスライダーで R を大きくすると帯は広がり、小さくすると狭まります。観測点 x を動かすと、点が帯の中にあるときは緑（|x|<R、収束）で、帯の外へ出ると赤の発散になります。収束とは結局、距離 |x| が半径 R より近いかという一行の条件です。正でも負でも絶対値だけを見るので、収束する範囲はいつも中心対称な区間です。端に乗った点は境界で、内側でも外側でもありません。
半径が同じでも、境界での運命はそれぞれ違います。三つの級数を選べます。三つとも半径は 1 なのに、境界 x=±1 での振る舞いが違います。Σxⁿ は両端とも発散します。Σxⁿ/n は x=-1 では交互に足されて収束しますが、x=+1 では調和級数になって発散します。Σxⁿ/n² は項がより速く小さくなり、両端とも収束します。左のパネルと右のパネルがその両端で、棒は部分和の流れです。一つの値に落ち着けば緑の収束、果てしなく流れたり跳ねたりすれば赤の発散です。境界は比判定が手を放す場所なので、級数ごとに別に見ます。
最後に、錨になる等比級数へ戻ります。1 + x + x² + ... = 1/(1-x)、ただし |x|<1 のときだけです。一本の棒が項 xⁿ で、上から積み重なり、和が緑の点線の位置 1/(1-x) へ集まります。比 x を 0.6 のように正にすると、金色の棒が同じ側でだんだん短くなり、一つの値に落ち着きます。x を負にすると棒は基準線の左右に交互に立ち、負の項は青で互いに削り合いますが、それでも |x|<1 なので結局一つの値に集まります。項が十分速く縮むときだけ、つまり距離が半径の内側にあるときだけ、無限和は有限になります。緑の点線は和が置かれる場所で、棒がその線まで積み上がれば級数は有限になっています。