行列 一次変換 わかりやすく
行列を初めて見ると、数を四角く並べた表にしか見えません。だから誰もが覚えようとばかりするのですが、それこそがいつまでも混乱する理由です。行列は表ではなく動作です。正確に言えば、平面上のすべての点をいっぺんに動かす関数であり、空間を伸ばし、回し、斜めに押す操作です。この絵が頭に定着すると、行列の積がなぜあのように定義されているのかも、後で出てくる固有値が何を見ているのかも、ぐっとわかりやすくなります。
まずは感覚をつかみます。画面には格子が敷かれていて、下の四つのスライダーで行列の四つの数を変えると、格子全体がいっしょに曲がり、伸びます。一つの点ではなく、平面全体が丸ごと動くのです。これが変換の正体で、行列一つは「空間をこう変えよ」という命令です。緑の矢印 î とオレンジの矢印 ĵ も格子といっしょに動きます。大事なのは、格子がでたらめにしわくちゃになることはないという点です。直線は変換後も直線のまま、平行な線は平行なまま残り、間隔も均等に保たれます。まっすぐさを保ったまま空間を変える、それが行列による変換です。スライダーをあれこれ動かしたあとは、「リセット」ボタンで何も変えない状態に戻れます。
では、こんなに複雑に見える変換を、どうやって数個の数で書き尽くすのでしょうか。秘密は意外に単純で、二本の矢印だけを追えば済みます。右へ 1 マス進む î と上へ 1 マス進む ĵ が、変換のあとどこへ行くかさえわかれば終わりです。しかもその着地点がそのまま行列の二つの列で、第 1 列は î の行き先、第 2 列は ĵ の行き先です。「着地を見る」を押すと、二本の矢印は点線で残る元の位置を離れて新しい位置へ移り、それぞれの先に着地点の座標が書かれます。その座標を下の行列と見比べると、緑の座標は第 1 列と、オレンジの座標は第 2 列と一致します。意味がなさそうに見えた四つの数は、実は「î をここへ、ĵ をそこへ送れ」という座標だったのです。î と ĵ のボタンを使えば、片方の矢印だけを明るく表示できます。
î と ĵ だけわかって何になるのかと思うかもしれませんが、ここが核心です。ほかの点を別々に知る必要はありません。平面上のどんなベクトルも、結局は î いくつと ĵ いくつを合わせたものだからです。たとえば (3, 2) という点は、î を 3 本、ĵ を 2 本足したものです。変換はこの混ぜ方の割合をそのまま保つので、変換後の (3, 2) は、î の行き先を 3 本、ĵ の行き先を 2 本足した場所になります。図の青い点をドラッグすると、変換後の格子の上で緑の点線が新しい î を並べ、オレンジの点線が新しい ĵ をつないでその点に届き、下の式にその本数が表示されます。これが前の講で見た線形性です。î と ĵ の運命さえ決めれば残りの無数の点はひとりでについてきて、そのおかげで行列の四つの数で空間全体を操れるのです。
一度変換したうえに別の変換を重ねたいとき、たとえば先に回転させてから斜めに押したいときは、二つの行列を掛ければ済みます。つまり行列の積とは、変換を続けて行うという意味です。学校で習った、行と列を妙なやり方で掛けるあの規則は、変換を順に施した結果を計算する方法なのです。だから順番が大切です。図では回転してからせん断する場合と、せん断してから回転する場合を扱っていて、「順番を入れ替え」を押すと格子の形が変わり、下の二つの枠に書かれた積の行列も互いに違います。順番を変えると結果が変わるのです。AB と BA が違うのは覚えるべき規則ではなく、当然のことだったわけです。
ここで代表的な変換をいくつか見て回ります。回転、拡大、せん断(斜めに押す)、反射です。ボタンを一つずつ押すと格子がその動作どおりに変わり、それぞれの動作が一つの行列に対応していることがわかります。空間を変えるおなじみの動作は、結局すべて行列だということです。最後に「ぺちゃんこ」ボタンを押すと、空間が一本の直線につぶれます。これは特別な場合で、下に表示される行列式という値がこのとき 0 になります。変換が空間を押しつぶしてしまったという合図です。つぶれるとはどういう意味なのかは、すぐ次の講、行列式で掘り下げます。