線積分は道に沿って積み上げた仕事だ
風の吹く野原を横切って歩くと考えてみてください。風が背中を押すときは一歩がただで進み、正面から吹きつけるときは力がいりますね。一歩ずつ、その場の風がどれだけ進む向きを助けたかをすべて足すと、「道に沿って受けた助けの総和」が出ます。これが線積分 ∫ F·dr です。場がした仕事（work）を経路に沿って積み上げるのです。不思議なのは、出発と到着が同じでも、どの道を通ったかで総和が変わりうること。ところがある特別な場では道はまったく関係ありません。この講は、その違いがどこから来るのかを見せます。
渦巻く場の中で、出発点 A と到着点 B は固定したまま、真ん中の金の点を動かして道を曲げてみてください。経路に沿った仕事がすぐ計算し直されます。経路上の各小片は、その場の矢印が進行を助ければ緑、阻めば橙に塗られます。道を渦と同じ向きに曲げると経路全体が緑になり W が正へ上がり、逆らう向きに曲げると全体が橙になり W が負へ下がります。同じ A から同じ B へ行くのに W が上下します。出発と到着だけでは答えが決まらない、その最初の合図です。
今度は A から B への二つの道を並べます。上へ大きく回る弧と、下へ回る弧。トグルを押して有効な道を切り替えると、その道が明るく浮かび、もう一方はかすみます。各道の仕事と二つの差が数で出ます。場がぐるぐる回る渦なので、同じ二点を結ぶのに上の道と下の道で値が違います。その差は、二つの道をつないで作った閉じた輪を一周する循環とぴったり同じです。回転する場では経路が答えを変える、それを自分の目で確かめます。
線積分が実際どう積み上がるかを一点ずつ見ます。今度の場は一定して北へ吹く風で、道は上に伸びて下りてくる弧です。スライダー t で曲線上の一点を選びます。その点で風の矢印（金）と、進む向きを指す単位接線（青）が一緒に見え、二つの内積 F·t̂ がその瞬間の足し前です。上りでは風が背中を押すので F·t̂ は正に積もり、頂を越えて下りに入ると風に逆らうので削られます。スライダーを動かすと、部分和が頂で最大になり、また小さくなるのが見えます。線積分は結局、この小さな F·t̂ を道に沿ってすべて足したものです。
ここで核心の対比が出ます。トグルで場の種類を変えてみてください。保存場はあるポテンシャルの勾配なので、A から B への直線の道と、回り道の弧の二つでした仕事がぴったり同じになります。答えは始点と終点の値の差だけ、道は関係ありません（経路無関係）。ところが渦の場に変えると、二つの道の値が分かれます（経路依存）。同じ二点、同じ二つの道なのに、場の性質一つがすべてを分けます。「経路無関係？」の表示灯が点いたり消えたりするのを見てください。それこそ保存場の印です。
最後に、仕事が一片ずつどう積もるかを自分で歩いて確かめます。さっきと同じ北へ吹く風の中、上に伸びて下りてくる弧が短い片に分かれています。一歩ボタンを押すたびに次の片へ一目盛り進み、通ってきた道は金に明るくなり、残りはぼんやり残ります。左の上りでは風が背中を押して正の仕事を足し、頂を越えた右の下りでは風に逆らって負の仕事を削ります。今踏んだ片の符号が表示され、下の棒に累積の仕事が積み上がってまた戻ります。リセットボタンで最初から歩き直せます。線積分とは結局、こうして一片ずつ足していく過程だと、手で確かめるのです。