固有ベクトルは向きが変わらないベクトルだ
線形代数のラスボス、固有値と固有ベクトルです。名前は恐ろしいですが、中身は単純です。5講で、行列は空間を丸ごと回し、伸ばす変換だと言いました。すると、ほとんどのベクトルは変換を経て向きをぐいっとねじられます。でも、ほんの一部の特別な方向は、まったくねじられず、その場で伸びたり縮んだりするだけなんです。そのねじられない方向が固有ベクトルで、どれだけ伸びたかが固有値です。これだけなんです。そしてこの二つが、5・6・7講で見たものを一か所に集めてくれます。
まず「ほとんどの方向はねじられる」を見ましょう。変換 A を一つ仕掛けておきます。矢印を一本、円に沿ってぐるっと回してみてください。元の向き（薄い矢印）と変換後の向き（濃い矢印）を一緒に出してあります。ほとんどの角度で、二つは別の方向を指しますね。変換がそのベクトルを元の直線から押しのけたんです。上を向いていたものが斜めを向き、右を向いていたものが上に持ち上がる。これがふつうです。変換は向きをあちこちにかき乱します。
ところが回し続けると、ある特別な角度で、濃い矢印が薄い矢印とちょうど同じ直線の上にぴたりと乗ります。向きはそのままで、長さだけが変わったんです。まさにそこ、その方向が固有ベクトルです。変換という激流の中でも流されず、自分の直線を守った方向ですね。その直線の上でどれだけ伸びたか、その倍数が固有値です。探してみてください。2次元なら、たいていこういう方向が二つ出てきます。変換はめちゃくちゃに見えても、実は「この方向だけは手をつけない」という自分だけの軸を持っているんです。
固有値がその方向でちょうど何をするのか、見てみましょう。固有ベクトルの上に乗ると、変換はただの「何倍か」です。固有値が2なら、その方向に二倍に伸び、0.5なら半分に縮み、1ならそのまま。マイナスなら？ 同じ直線の上で反対側にひっくり返ります。向き（直線）は守ったまま、前後だけが入れ替わるんです。スライダーでいろんな変換を作りながら、各固有ベクトルの固有値を確かめてみてください。複雑に見えた変換が、固有ベクトルの方向にかぎっては、たった一つの素朴な掛け算に縮みます。
ここが本当に美しいところです。格子を、いつもの縦横ではなく固有ベクトルの方向に沿って描き直すと、変換がまったく違って見えます。回すことも、ねじることもなく、ただ各軸をそれぞれの固有値だけ伸ばすだけ。あの複雑な行列が、固有ベクトルを軸にした座標系では、「軸ごとに何倍か」というすっきりした形になるんです。トグルで格子を固有軸に合わせてワープさせてみてください。固有ベクトルは、その変換にとっていちばん自然な軸です。その軸から見れば、どんな変換もいちばん単純な顔を見せてくれます。
では、この方向をどうやって見つけるのでしょう？ 固有ベクトル v は、A をかけた結果が、ただ λ 倍したのと同じになるベクトルです。式にすると Av = λv。これを移すと (A − λI)v = 0 になります。0でないベクトル v が0に送られたということは、変換 (A − λI) が空間をぺちゃんこにつぶしたということです。7講を覚えていますか？ なら、その行列式は0でなければなりません。だから det(A − λI) = 0 を λ について解けば、固有値が出てきます。6・7講の「行列式0＝つぶれた＝逆にたどれない」が、固有値を見つける鍵だったんです。おまけに、行列式は固有値を全部掛けた値になります。面積の倍率（6講）が、軸ごとに伸ばした倍数の積だということですね。ぜんぶつながります。