ベクトルは動きだ

ベクトルを「動き」として見ましょう。(3, 2) は「右に3歩、上に2歩進め」という意味です。矢印をドラッグしてみてください。隣の数のペアも一緒に変わりますね。逆に数を変えれば矢印が動きます。矢印と数のペアは、同じ指示を二通りに書いただけなんです。絵で見れば直感的、数で書けば計算しやすい。場面に応じて楽なほうで見ればいいんです。この二つを自由に行き来できるのが、第一歩です。

ベクトルを足すとどうなるでしょう？ ただ動きをつなぐだけです。まず a だけ進み、そこから b だけ進めば、最終的な行き先が a + b です。矢印を先端から末尾へつないでみてください。a の先から b を出発させると、最初の出発点から b の先までが和です。数ならもっと簡単。成分ごとに足すだけです。(3,2)+(1,4) は (4,6) ですね。動きをつなぐ、これがベクトルの足し算のすべてです。

ベクトルに数を掛けると、どうなるでしょう？ 方向はそのまま、距離だけが変わります。2を掛ければ二倍遠くへ、0.5なら半分だけ。方向は同じです。マイナスを掛けると？ 長さはそのまま、正反対にひっくり返ります。スライダーで掛ける数を動かしてみてください。矢印が同じ直線の上で、伸びたり縮んだり、ひっくり返ったり。ベクトルに数を掛けるのは、「方向は置いて、距離だけ調整」なんです。

さて、核心です。基本の矢印を二つ用意します。右に一歩の î と、上に一歩の ĵ。この二つを伸ばして足すだけで、平面上のどんな点にも届きます。(3, 2) は？ î を3個、ĵ を2個、つまり 3î + 2ĵ です。ターゲットの点をドラッグしてみてください。その点が「î 何個 + ĵ 何個」で組み立てられるのが見えるはずです。平面上のすべてのベクトルは、結局「î いくつ + ĵ いくつ」というレシピにすぎません。5講で、行列は î と ĵ の行き先さえ分かればいいと言ったのは、まさにこのためです。どの点も î と ĵ の組み合わせだからです。

では、î と ĵ でどこまで行けるでしょう？ 平面全体です。それが「2次元空間」という言葉の意味です。異なる二つの方向を組み合わせて届ける、すべての点。もし二つの方向がどちらも横向きで並んでいたら？ どれだけ足して伸ばしても、横の直線一本しか作れません。平面を埋められないんです。トグルで二つの方向を平行にしてみてください。平面が線につぶれます。つまり空間とは「自分の方向が届けるすべての点」であり、方向が互いに独立なときに初めて、平面がぱっと開くんです。（この「平行ならつぶれる」が、6講の行列式ゼロにつながります。）