数値積分 わかりやすく
定積分は曲線の下の面積です。手で積分する公式の解がない関数は多いです。実験のように点だけで、式そのものがないときもあります。発想は単純です。区間 [a,b] を細い縦の断片に切り、各断片の面積をやさしい図形で見積もって足します。長方形で埋めると粗く、上辺を斜めにつないだ台形はよりよく、二区画ずつまとめて放物線で合わせると、はるかに正確になります。断片を細かくするほど、つまり n を大きくするほど真値に近づきますが、近づく速さは規則ごとに違います。真値が分かっている積分の一つ、f=1+sin x、答えは π+2、を置いて、三つの規則が同じ労力でどれだけ違う精度を出すかを下の図が比べます。金色の棒がその断片で、灰色の曲線が積分する関数です。
灰色の曲線が f(x)=1+sin x で、求める面積はその下、[0,π] の間です。真値はちょうど π+2≈5.1416 なので、誤差をそのまま測れます。金色の棒が、区間を n 個に切った長方形です。上のボタンで、棒の高さを左端、右端、中点のどれにするかを選びます。n のスライダーを上げると棒は細くなり、推定値は真値へ近づきます。左端と右端は一方へ偏りますが、中点は上下の誤差が打ち消し合って、ふつう最も正確です。
同じ積分で、同じ真値 π+2 です。今度は棒の上辺を平らにせず、両端を直線でつないで台形にします。長方形は曲線と棒の間に空の三角形を残しますが、台形はその斜面を直線でたどって隙間を大きく減らします。n のスライダーを動かすと、同じ n で前の図の 1 次の見積もりより誤差が小さいことが分かります。台形の誤差は h² に比例するので、n を二倍にすると誤差はおよそ 1/4 に落ちます。長方形が 1/2 になるのと比べると、一段速い収束です。
台形は曲線を直線で見積もりました。曲線を曲線で見積もるとどうなるでしょう。シンプソンの規則は区間を二区画ずつ束ね、その三点を通る放物線で曲線を合わせます。直線が見逃した曲がりまで拾います。点線が真の曲線で、その上にほぼ重なる金色が放物線の見積もりです。n を偶数で動かすと、誤差の数字は台形より桁の分だけ小さくなります。シンプソンの誤差は h⁴ に比例するので、n を二倍にすると誤差は 1/16 に落ちます。同じ断片数で、精密さが大きく良くなります。
三つの規則の正体を一枚の図に集めます。縦軸は log10（誤差）、横軸は断片数 n です。規則を選び n を掃くと、誤差が落ちる曲線が描かれます。落ちる傾きが精度の次数 p で、読み値にその推定が出ます。長方形は緩やかに (p≈1)、台形はそれより急に (p≈2)、シンプソンは崖のように (p≈4) 落ちます。曲線が急なほど、同じ n の増加が誤差をより削ります。シンプソンは、機械が区別できるいちばん小さな数に着くと、それ以上は下りません。
最後に三つを同じ条件で並べて比べます。三本の棒は、同じ n、つまり同じ計算量を使った中点と台形とシンプソンの誤差です。縦は対数目盛なので、棒の長さが誤差の桁です。n を動かすと三つとも短くなりますが、シンプソンの棒が他の二つを押さえます。同じ労力でも、どの公式を選ぶかが精度を桁で分けます。数値解析で大切なのは、むやみに n を大きくすることではなく、よりよい規則を選ぶことです。同じ断片数で三つの規則を並べるのが、この比較の核心です。