余因子展開 わかりやすく
2x2 の行列式が面積だったことは、すでに知っています。行列が 3x3、4x4 に大きくなっても、図の種類が変わるのではなく、次元が一つずつ上がります。3x3 は平行六面体の体積で、n x n は符号つきの n 次元体積です。大きな行列式の計算は単純です。一行に沿って、より小さな行列式の符号つきの和に割ります。足して引いて足す、碁盤の符号で進みます。これが余因子展開です。この道具から、クラメールの公式も、行列式が多重線形で交代的な理由も、二列が同じなら 0 になる理由も出てきます。碁盤の符号がマスごとに交互に付くのが展開の規則です。平行四辺形の面積と符号がその行列式です。二列が重なるとその面積が消え、クラメールの二つの平行四辺形が答えの分子と分母です。
3x3 の行列式を直接開きます。ボタンで第一行を一マスずつ歩き、j 番目のマスを選ぶとその項が点き、その項のある行と列が消えます。残る 2x2 がその項の小行列式で、その小さな行列式はすでに知っている面積です。マスごとに足す、引く、足すが交互に付きます。だから全体の行列式は a11 かける M11 引く a12 かける M12 足す a13 かける M13 です。一段ずつ累積和が育ち、最後に det に着きます。大きな行列式が、小さなものの符号つきの和に割れることが核心です。4x4 なら同じことを一層深くすればよいのです。選んだマスの行と列が消え、残った小さな行列式がその項の面積です。累積和が最後に det に着く様子が展開そのものです。符号は左上から交互に敷かれ、二列が重なると面積が消えます。
余因子には部品が二つあります。小行列式と符号です。格子のマス aij を押すとそのマスが強調され、行 i と列 j を消した残りの 2x2 小行列式 Mij が現れます。そばには符号 (-1)i+j が出ます。行番号と列番号を足した値が偶数なら足す、奇数なら引くです。だから符号は左上から碁盤のように敷かれます。小行列式にこの符号を掛けたものが余因子 Cij = (-1)i+j Mij です。前の図の展開は、第一行に沿って aij かける Cij をすべて足したものです。どの行でもどの列でも開いても同じ det になり、符号板がそれを保証します。どの行で開いても同じ値になることを、その板が見せます。小さな面積がその項の中身で、それが余因子の中身です。
行列式で連立方程式を解きます。A x = b で A は固定された可逆行列で、スライダーで右辺 b1、b2 を決めます。クラメールの公式は答えを行列式の比で与えます。x1 は A の 1 列を b に替えた行列の行列式を det(A) で割ったもので、x2 は 2 列を b に替えた行列式を det(A) で割ったものです。二つの替えた行列を平行四辺形の面積で見せるので、分子の面積が分母の面積の何倍かがそのまま x です。b を動かすとその平行四辺形が伸びたり縮んだりし、x1、x2 がついて変わります。行列式が体積なので、連立方程式の答えが体積の比で出るのがクラメールの意味です。det(A) が 0 に近いと分母が消えて答えが大きくなるのも見えます。
行列式の符号をスライダーで見ます。2x2 行列を動かすと、単位正方形が行った平行四辺形がいっしょに動きます。その平行四辺形の面積が行列式の絶対値 |det| です。符号は向きです。第一軸から第二軸へ回る回転が反時計なら det は正、時計なら負です。スライダーを渡して二つの矢印の回転が裏返る瞬間を捉えると、その瞬間 |det| は 0 を通り、符号が正から負へ変わります。2 次元では符号つき面積、3 次元では符号つき体積、n 次元では符号つきの n 次元体積です。大きさはどれだけ増えたか、符号は裏返ったかで、行列式一つが両方を担います。
行列式の性格は二つです。多重線形で、交代的です。ボタンで二列を入れ替えると (swap) 符号が裏返ります。大きさはそのままで正が負になり、これが交代性です。スライダーで一列を他の列のほうへ回すと、二列がだんだん平行になり、完全に重なる瞬間、平行四辺形が線一つに潰れて det が 0 になります。二列が同じなら行列式は 0 で、これは交代性の結果です。同じ列を swap しても符号は変わるべきなのに、同じものを替えたのだから変化はないはずで、すると det = -det、つまり det = 0 だからです。体積で見るとより簡単です。二辺が一つの方向に重なれば平らになって体積がありません。