回転はその場の渦の強さだ
流れる水にとても小さな風車を浮かべると想像してください。流されないよう、ピンで一点に留めておきます。その場で風車がくるりと回れば、そこには回転があるのです。回転（curl）はまさにその「その場の渦」の強さを測る量です。反時計回りなら正、時計回りなら負。発散が「広がるか」を問うたなら、回転は「ぐるぐる回るか」を問います。同じ場の二つの顔ですね。この一つの量が、流体の渦、回転する機械、そして場が保存的かどうかを分ける鍵になります。
二つの渦が入った場です。探針を動かしてみてください。探針の位置に小さな曲がった矢印が出ます。それがその点で風車が回る向きです。左の渦の上では矢印が反時計回りに曲がって金色に光り（回転が正）、右の上では時計回りに曲がって青になります（負）。二つの渦のちょうど真ん中では回転がほぼ0なので、矢印は小さくなります。曲がった矢印が長く太いほど、その場の渦が強いという意味です。
回転の符号は、そのまま回る向きです。トグルで三つの場を切り替えてみてください。F=[−y, x] は反時計回りに回る塊の回転なので ∇×F=+2、F=[y, −x] は時計回りなので −2 です。三つ目の F=[y, 0] は横にだけ滑る剪断流ですが、矢印がどれも平行な直線に見えても、回転は −1 で0ではありません。上の列が下より速く動けば、間に挟まれた風車は回るからです。矢印がまっすぐに見えても回転がないわけではない、というのが要点です。固定した円の周りで足し合わせた循環でも、同じ符号が確かめられます。
回転も結局、二つのかけらの差です。最初のかけら ∂v/∂x は東へ進むとき縦の速度がどれだけ変わるか、二つ目の −∂u/∂y は北へ進むとき横の速度がどれだけ変わるかです。探針を動かすと、二本の棒が別々に伸びます。緑が ∂v/∂x、橙が −∂u/∂y。この二つの和がそのまま回転 ∇×F です。図の下の式 ∂v/∂x − ∂u/∂y = ∇×F のとおりです。片方の棒だけ大きくても回転は生まれ、二つが同じ符号で足し合わさると渦の中心のように回転が最も強くなります。符号が逆で打ち消し合えば、回転は0に近づきます。
回転は一点の量なのに、どう測るのでしょう？ 小さな輪を描き、その縁に沿って流れがどれだけ回るか（循環）を足せばよいのです。輪の中心を動かし、スライダーで半径を縮めてみてください。生の循環は輪が大きいほど大きくなりますが、循環をその輪の面積で割った値（循環/面積）は、縮めるほど一つの値に寄っていきます。それがまさに中心での回転です。これが回転の本当の定義です。輪を点へつぶしたときの単位面積あたりの回り。左の渦に当てれば正へ、右なら負へ収束します。
今度は、回転そのものを色で塗った地図です。金色は反時計回りの回転（正）、青は時計回り（負）、薄い矢印が流れを示します。スライダーは二つの渦の間の距離を広げます。近づけると二つの回転の染みが真ん中で互いを削り合って回転がぼやけ、遠ざけると金と青の二つの染みがくっきり分かれます。一点一点の回転を集めれば、場全体でどこが反時計回りでどこが時計回りかを一目で見せる回転地図になります。次の講では、この矢印に沿ってなされた仕事を測る線積分へ進みます。