基底の変換 わかりやすく
同じ建物について、ある人は「3 階の赤い扉」と言い、別の人は「正門から二つ左」と言います。指している場所は同じなのに、口にする数が違うのです。ベクトルもそうです。空間に打ちこまれた矢印そのものは一つですが、その位置を読む座標は、私たちが選んだものさしである基底しだいです。基準を変えても矢印はびくともせず、数だけが変わります。そして、うまく選んだ基準一つが、複雑に見えた変換を一瞬で単純にしてくれます。AI がデータを扱う秘密もここにあります。特徴 (feature) とは、結局のところ私たちが選んだ基底で読んだ座標だからです。
青い矢印 P は、画面の同じ場所に釘で打ちつけられています。ボタンで、ものさしを標準基底と斜めの基底のあいだで切り替えられます。標準基底では格子がまっすぐで、矢印を (2.0, 1.0) と読みます。斜めの基底に切り替えると、緑の b1 とオレンジの b2 に沿って格子が傾きますが、矢印 P は 1mm も動きません。変わるのは読み取った数だけで、下の式は今度はその矢印を b1 いくつと b2 いくつの和として書きます。だれがどう呼ぼうと、矢印はその場所にそのままある、ただ一つのものです。
今度は、青いベクトル v を自分でドラッグします。ドラッグしているあいだ、二組の数がいっしょに動きます。上は標準座標 (vx, vy)、下は斜めの基底で読んだ (α, β) です。同じ矢印が、二つの言葉に同時に通訳されているわけです。斜めの格子線をたどると、α が b1 の向きに何ます、β が b2 の向きに何ますかがそのまま見えます。v がたまたま b1 と平行になると β は 0 に近づき、b2 と平行になると α が 0 に近づきます。座標とは、その基底の目で矢印を測った結果にすぎないのです。
基底は一枚の行列にまとめておけます。新しい基底ベクトルを列として立てて、B = [b1 b2] をつくるのです。スライダーで行列の四つのますを動かすと、標準の格子がその行列に従って変わる様子が舞台に現れます。核心は、行列の列が標準基底ベクトルの行き着く場所、つまり新しい基底ベクトルだという点です。その逆の作業は逆行列が受け持ち、標準座標を新しい基底の座標に変えます。下には逆行列と行列式がいっしょに表示されます。スライダーをそっと動かして行列式が 0 に近づくと、逆行列の欄に「特異 (singular)」と出ます。基底が一本の線につぶれ、もう平面を覆えなくなる瞬間です。「リセット」を押すと標準基底に戻ります。
座標が矢印をほどいて読むことなら、逆に座標から矢印を組み立てることもできます。スライダー α と β を動かすと、まず緑の矢印 α·b1 が原点から描かれ、その先からオレンジの矢印 β·b2 がつながれます。頭にしっぽをつける平行四辺形の足し算で、その結果が青い矢印です。α, β をどう決めても、平面のどの点もちょうど一通りのやり方でつくられます。抜ける点も重なる点もありません。だから (α, β) は、その基底でのその矢印の本当の住所になるのです。下の行には、組み立てた矢印の標準座標が表示されます。
いよいよごほうびの番です。変換 A を一つ固定しておき、ボタンで二つの見方を行き来できます。標準の見方では格子がねじれ、ふつうの矢印は向きまで変わってしまうので、何が起きているのかがひと目ではわかりません。固有基底の見方に切り替えると、その変換の二つの固有ベクトルが新しい軸として立てられます。すると変換は、ただその二本の軸に沿って伸ばしたり縮めたりする純粋な伸びになり、二本の矢印は回らずに長さだけが変わります。矢印のそばの倍率がその軸の固有値で、下にも二つの固有値が表示されます。同じ変換なのに、正しい基底で見たら対角行列のように単純になったのです。前の「固有ベクトルは向きが変わらないベクトルだ」で見た、回らない向きこそが、このよい基底だったのです。