大定理は内部と境界を結ぶ
発散は一点でどれだけ漏れ出すか、回転は一点でどれだけ回るかを測りました。では、点一つではなく領域全体を見たいなら？ 領域内のすべての小さな発散を足し合わせると、境界の外へ抜け出る総量とぴったり等しくなります。内部の回転をすべて足すと、境界に沿って回る循環とぴったり等しい。これがガウスの定理とストークスの定理です。内部で起きることの総和を、境界一本を測るだけで知れるという約束。難しい体積積分が、易しい周回積分へと姿を変える。工学計算の核心にある近道です。
まずガウスの定理を絵で見ます。背景は発散のヒートマップ。金は漏れ出す所（発散が正）、青は吸い込まれる所（発散が負）です。円の上には外向きの矢印が並びます。金は外へ出る流れ、青は中へ入る流れ。半径スライダーを動かして円を大きく小さくしてみてください。二つの数がいっしょについてきます。内部は円内の発散をすべて足した値、境界は縁を横切って抜け出る総フラックス。どの半径でも二つはほぼ同じ。それがガウスの定理です。
今度は絵を外して、二つの数だけ並べます。左は ∫∫ ∇·F dA、円内の発散をもれなく足す面積分。右は ∮ F·n ds、円の縁で外向きに漏れ出すフラックスを一周ぶん集める周回積分です。半径スライダーを動かしてみてください。二つの値はつねに手をつないで一緒に動き、ほぼぴったり一致します。真ん中の等号がそれを確かめます。一方は領域全体をなめねばならず、他方は境界線一本を測るだけ。だから定理は近道なのです。
今度はストークスの定理で、場が変わりました。中心で反時計回りに回る渦が一つある場で、背景は回転のヒートマップです。金は反時計回りの所（回転が正）で、中心が一番強い。円の上では矢印が縁に沿って接線方向に回ります。半径スライダーを動かしてみてください。内部は円内の回転をすべて足した値、境界は縁を回る循環です。円を大きくすると二つの値がそろってはっきり増え、つねに同じ値を指します。内部の総和と境界が等しいことが目で見えます。
また絵を外して、二つの数だけ見ます。左は ∫∫ ∇×F dA、円内の回転をもれなく足す面積分。右は ∮ F·dr、円の縁に沿って場が引いて回す循環を一周ぶん集める周回積分です。半径スライダーを動かしてみてください。二つの値はそろって増え、ほぼぴったり一致し、真ん中の等号が確かめます。発散定理が領域の発散を境界のフラックスに変えたように、ストークスの定理は面の回転を境界の循環に変えます。内部で回る回転をすべて足すと、境界が回る量とぴったり同じです。
最後に、二つの定理を一つの絵に重ねます。円が一つ、トグルが一つ。ガウスを押すと縁に外向き（法線）の矢印が現れ、ラベルは「漏れ出すフラックス = 内部の発散の和」になります。ストークスを押すと同じ縁が接線方向の矢印に切り替わり、ラベルは「循環 = 内部の回転の和」になります。トグル一つで ∇· と ∇× 、法線と接線がまるごと入れ替わります。形は双子です。どちらも「内部で足した微分 = 境界で測った積分」。どの微分を内に置き、矢印を境界にどう立てるかが違うだけ。これがベクトル解析を支える一文です。