ニュートン法は接線で根を追う
方程式 f(x)=0 の根をどう見つけるか。多くの場合きれいな公式はありません。ニュートンの答えは優雅です。今の点で曲線に接線を引き、その直線が x軸と交わる所を次の推定値にします。曲線は難しくても、直線なら自分の零点を簡単に見つけるからです。式では xn+1=xn - f(xn)/f'(xn)。これを繰り返すと推定値は根へ滑り落ちます。うまくいけば恐ろしく速い。毎歩、正確な桁数がほぼ二倍に増えます。2次収束と呼びます。しかし万能ではありません。傾きが平らな所では接線が推定値を遠くへ飛ばし、厄介な曲線では二点を巡ったり永遠に発散したりします。開始点が少し違うだけで別の根に落ちることもあります。それでも、安全で地道な二分法と並べれば、ニュートンの速さがいかに圧倒的かが一目でわかります。
灰の曲線は f(x)=x²-2、その根は √2≈1.414 です。スライダーで開始 x0 を決め、一歩ボタンを押してみてください。現在の点で金色の接線が引かれ、それが x軸と交わる所（小さな円）が次の推定値になります。押すたびに点は根へ滑り落ち、下の f(x) が0へ近づきます。曲線ではなく、易しい直線の零点を追うのが肝です。リセットで最初から見直せます。
同じ式の誤差を対数棒で見ます。各棒は一歩後の |xn - √2| です。対数スケールなので短いほど正確で、底に届けばほぼ完璧です。x0 スライダーを動かしてください。どこから始めても棒は数歩で崖のように落ちます。毎歩、誤差がほぼ二乗されるからです。誤差0.1 が0.01 ではなく、その二乗の勢いで縮みます。リードアウトの正確な桁数が毎歩倍に跳ねるのが2次収束です。
速いことは常に安全とは限りません。三つの失敗を選んでください。飛び越しは x0 が0に近く f'(x)≈0 のとき、接線がほぼ水平で推定値を画面外へ飛ばします。循環は f=x³-2x+2 を0から始めると、0 と1 を永遠に往復し根に届きません。発散は arctan のように遠くで平らになる曲線で、歩みが次第に大きくなり離れていきます。接線の矢印がどう外れるか見てください。だからニュートンには良い開始点と安全装置が要ります。
今度は f=x³-x、根は -1、0、+1 の三つです。スライダーで開始 x0 を動かすと、ニュートンがどの根へ落ちるかを色が示します。緑は -1、金は 0、青は +1、灰は発散です。帯全体が各開始点の運命を塗った地図です。中央付近はきれいに0へ向かいますが、±1/√5 のあたりでは色が髪のように細かく絡みます。そこでは開始点をほんの少し動かすだけで落ちる根が変わります。同じ単純な規則がこれほど繊細な境界を刻むのは見事です。
最後に速さを比べます。f=x²-2 を [1,2] で解き、一歩ボタン一つでニュートン（金、x0=2）と二分法（青、区間 [1,2]）を同時に進めます。二分法は符号が変わる半分を毎回選び、区間を半分ずつ縮めます。安全ですが一歩で桁数が約0.3個ずつ、ゆっくり増えます。ニュートンは同じ歩数で誤差が急降下します。リードアウトの二つの誤差を比べてください。三、四歩でニュートンは二分法をはるか後方に引き離します。安全性は二分法、速さはニュートン。実務では両者を混ぜて使います。