テイラー展開 わかりやすく
曲線は扱いにくく、多項式は扱いやすいものです。テイラーの発想は、一点を決めることです。その点で曲線と高さが等しく、傾きが等しく、曲がり具合である 2 階導関数まで等しく、さらに高い導関数を順に合わせた多項式を積みます。次数を上げるほど、その点の近くの曲線をより忠実になぞります。sin、cos、ex のような超越関数も、終わりなく足した多項式、つまり冪級数として書かれ、電卓はこの方法で値を求めます。中心から離れると近似は崩れます。崩れた大きさが剰余項、つまり打ち切り誤差であり、このまとまりの数値解析はその誤差と向き合います。中心をどこに置くかが、近似の使える区間を決めます。その区間の中では多項式が曲線の代わりをし、外では剰余が答えを壊します。
次数のスライダーを上げます。次数 1 は接線、つまり直線だけで、灰色の曲線からすぐ外れます。次数を 3、5、7 と上げると、金色の多項式が sin の曲線をより広く包みます。どの次数でも中心、ここでは 0、に近いほどよく合い、両端へ行くほど外れます。多項式は遠くでは必ず発散するからです。項を十分に足せば、画面に見える区間では sin とほぼ重なります。
今度は ex を一項ずつ積みます。最初の項は定数 1、次は x、その次は x²/2、x³/6 で、各項は xᵏ/k! です。下の棒は x=2 での各項の大きさです。初めは大きくなり、分母の階乗 (k!) が大きくなると急速に小さくなります。だから部分和は一つの値に落ち着きます。項を増やすほど T(2) は真値 e²≈7.39 に近づきます。すべての x でこう収まる関数が解析関数で、ex、sin、cos がその代表です。どこまで収まるか、つまり収束半径は、すぐ次の話で続きます。
橙色の棒は sin と金色の多項式の間隔、つまり誤差です。探針 x を中心 0 の近くに置くと、棒はほとんど見えません。探針を両端へドラッグすると、あるところから棒が急に長くなります。次数を上げるとよく合う区間は広がりますが、その外ではやはり爆発します。テイラー近似で大切なのは、中心からどれだけ離れたかです。正確さの自慢より、その距離が誤差を決めます。だから中心は、知りたい点の近くに取ります。
次数 1 のテイラーは、接線に沿った一歩です。一点で傾きを測り、その直線に沿って h だけ進んで次の値を予測します。緑の点線がその予測で、曲線が真値です。h が小さいと二つはほぼ一致し、h を大きくすると橙色の間隔が開きます。この間隔が 1 次テイラーの剰余項、つまり打ち切り誤差です。この一歩が、オイラー法が毎歩行うことと同じです。微分方程式の傾きを受け取り、直線で一歩ずつ進みます。近似と数値解析は同じ根を持ち、多項式近似の剰余項が数値解法の誤差になります。
関数を選べばよいのです。sin を選び項を 1 にすると sin x ≈ x です。振り子や小さな揺れを解くときの微小角近似がこれで、角が小さいほどよく合います。cos は 1 − x²/2、ex は 1 + x + x²/2 から始まります。電卓とコンピュータは sin、cos、ex、対数を、このような多項式と少しの補正で求めます。掛け算と足し算しかできない機械が超越関数を扱う方法です。必要な精度を決め、その分の項を使えばよいのです。角の小さい振り子では、この一行が運動方程式全体の代わりをすることがよくあります。