発散は一点から漏れ出す量だ
ある点を囲んで、ごく小さな円を描いたとします。その境界を通って入ってくる量より出ていく量のほうが多ければ、その点は何かを噴き出していることになります。これが発散です。一点から正味で漏れ出す量。出が多ければ湧き出し（source）、入りが多ければ吸い込み（sink）、同じなら0で、流れはただ通り抜けるだけです。式では、横成分が東へ広がる度合い（∂u/∂x）に、縦成分が北へ広がる度合い（∂v/∂y）を足したものです。工学では、どこで漏れ、どこに集まり、どこで圧縮されるかを一つの数で突き止める道具です。
場の上で探針を動かしてみてください。探針の位置に、小さな環として表本の矢印が八つ巻きつきます。この矢印が外へ張り出せば流れが漏れ出す場所、内へ集まれば吸い込まれる場所です。原点の近くに置くと四方へ広がり、∇·F は正、金の湧き出し（source）として現れます。外へ遠く動かすと矢印は内へ曲がり、∇·F は負、青い吸い込み（sink）に変わります。その間のどこか、半径2.45ほどの環では、入りと出がちょうど釣り合って ∇·F は0になります。
三つの場をボタンで切り替えながら符号を読んでみてください。湧き出しはすべての矢印が原点から外へ張り出し、∇·F は +1.2、正です。吸い込みはすべて内へ集まり、−1.2、負です。渦はすべての矢印が周りをぐるりと回りますが、入る分だけ出ていくので ∇·F はちょうど0です。要点はこれです。回転がどれほど強くても、発散とは無関係だということ。発散は「回るか」ではなく「広がるか集まるか」だけを見ます。大きな数の表示が符号とともに切り替わるのを確かめてください。
発散も結局、二つの断片の和です。探針を動かすと、横成分が東へ広がる度合い（∂u/∂x、緑）と、縦成分が北へ広がる度合い（∂v/∂y、橙）が、それぞれ棒として現れます。二本の棒を足したものが、まさに ∇·F です。原点では両方とも +1ほどで、和は +2、強い湧き出しです。外へ動かすと一軸ずつ負へ折れて和が縮み、遠くでは両方とも負になって吸い込みになります。「∂u/∂x + ∂v/∂y = ∇·F」という一行が、数となって動き出すのを見てください。
発散の本当の定義は、境界を通り抜ける流れ、すなわちフラックスです。円の中心を動かし、半径スライダーを動かしてみてください。円周のいたるところで、外向き法線に沿って流れがどれだけ漏れるかを矢印が示します。円周をすべて足したものが総フラックス Φ で、それを円の面積で割った Φ/面積が、内部の平均発散です。円を小さく縮めるほど Φ/面積は、中心での ∇·F という一つの値へ収束します。だから発散は、ごく小さな境界の単位面積あたりの流出という、絵でつかめる量なのです。
では発散を、一点ではなく場全体で見ます。スライダー s を動かすと、場は F=[s·x − x³/9, s·y − y³/9] へなめらかに変わります。背景の色がそのまま ∇·F の地図です。金は湧き出し（正）、青は吸い込み（負）、その間の境界線が発散0の環です。s を上げると原点の広がりが強まって金の領域が広がり、0の環は外へ押し出されます。s を下げると金が縮み、青い吸い込みが内側まで満ちてきます。一つの手すりが、湧き出しと吸い込みの境界をまるごと動かすのを見てください。