行列式は面積の倍率だ
学校で行列式を習ったとき、ad 引く bc って、ただ暗記しましたよね。でも、それが一体何を意味するのかは、誰も教えてくれなかったはずです。実は行列式って、すごく直感的な数なんです。その変換が面積を何倍にするか、ただそれだけなんです。det が3なら、どんな図形も面積が3倍。det が0なら、ぺちゃんこにつぶれた状態。この一文が入ると、ad 引く bc の公式も、なぜ逆行列が存在しないときがあるのかも、ぜんぶ同じ絵から出てきます。
面積が何倍に変わるか、どう測ればいいでしょう？ 基準になる図形を一つ決めて、それがどれだけ大きくなるか見ればいいんです。いちばんきれいな基準は、î と ĵ が作る単位正方形。面積はちょうど1です。さて、行列を適用すると î と ĵ が動きますね。5講を覚えていますか？ 行列の二つの列が、î と ĵ の行き先でした。だからこの正方形は平行四辺形にゆがみます。スライダーを動かしてみてください。その平行四辺形の面積、それが行列式です。最初の面積が1だったので、変わった面積がそのまま「何倍になったか」であり、それが det なんです。そしてこの平行四辺形の面積を座標から計算すると、ちょうど ad 引く bc が出てきます。学校で暗記したあの公式は、実はこの面積を求める式だったんです。
「単位正方形だけの話じゃないの？」と思うかもしれません。いいえ。どんな図形を置いても、面積は同じ比率で変わります。丸でも、ぎざぎざの形でも、細かい小さな正方形にたくさん分けて考えれば、結局みんな同じ倍率で伸びるからです。だから行列式は、ある一つの図形の性質ではなく、空間全体に同じようにかかる「面積の倍率」一つなんです。図形を変えながら確かめてみてください。形は違っても、倍率は変わりませんね。
ところで、面積は正のはずなのに、行列式がマイナスになることがあります。マイナスの面積って、どういう意味でしょう？ 空間が裏返ったという意味です。紙をひっくり返すと、文字が鏡のように左右逆になりますよね。変換も同じです。î から ĵ へ反時計回りに回っていたのが、裏返ると時計回りになります。その「向きが反対になった」を、マイナスの符号がとらえているんです。つまり行列式一つに、大きさ（面積の倍率）と向き（裏返ったか）の両方が入っているわけです。スライダーで符号をマイナスまで振って、正方形が裏返るのを見てください。
さて、いちばん大事な場合です。スライダーをそっと動かして、行列式を0にしてみてください。平行四辺形がだんだん平たくなって、ついに一本の線につぶれます。面積が0になったんです。2次元が1次元につぶれたわけです。ここがポイント。一度こうして平たくなると、元に戻す方法がありません。その線の上に集まった点だけを見ても、元の平面のどこから来たのか分からないんです。別々の点が同じ場所につぶれてしまったから。「行列式が0なら逆行列がない」というあの怖い言葉は、実はこの絵なんです。つぶれたものは伸ばせません。この話は次の講（連立方程式、逆行列）でちゃんと続きます。
変換を続けて二回やったら、面積はどうなるでしょう？ 難しく考えることはありません。まず面積を2倍にする変換をして、次に3倍にする変換をすれば、最終的な面積は2かける3で6倍です。だから行列を掛けたものの行列式は、それぞれの行列式を掛けたものと同じになります。det(AB) = det(A) かける det(B)。ふつうはこれを公式として暗記しますが、「倍率は掛け算される」と思えば当たり前ですよね。二つの変換を順番にかけて、面積の倍率が積として出てくるのを確かめてみてください。