ラプラシアンは近傍平均との差だ

場の上で探針を動かしてみてください。探針を置くたびに、小さな環として近傍の標本点が六つ巻きつきます。画面の下に三つの数が現れます。中心の値、近傍六点の平均、そしてその二つの差に比例する ∇²f です。峰（右上）の上に置くと、近傍平均が中心より低いので ∇²f は負、青い峰です。窪み（左下）の上に置くと、近傍平均のほうが高いので ∇²f は正、金の窪みです。ラプラシアンが結局「近傍平均から自分がどれだけ外れているか」という一つの数であることを、手で直に確かめてください。

今度は同じ場で、ラプラシアンがなぜ「勾配の発散」なのかを見ます。探針を動かすと、その周りの環に勾配の矢印が六つ現れます。各矢印は、その場所で最も急な上り坂を指します。峰の上では矢印がすべて探針のほうへ集まります。上りは内側の峰を向くからです。内へ集まる流れは発散が負、だから ∇·∇f < 0。窪みの上では矢印がすべて外へ張り出し、発散は正、∇·∇f > 0 です。画面には「∇²f = ∇·(∇f)」とその生きた値が並びます。発散（3講）が勾配（2講）にもう一度作用したものがラプラシアンだということを、矢印で直に見てください。

では一点ではなく、場全体のラプラシアンを色で見ます。スライダー s は右上の峰の高さを 0.5 から 3 まで変えます。背景の色がそのまま ∇²f の地図です。金は窪み（∇²f > 0、平均より下）、青は峰（∇²f < 0、平均より上）で、峰の頂と窪みの底が最も濃く現れます。s を上げると右上の峰がせり上がり、その場所の青い領域が濃く広くなります。s を下げるとその峰が静まり、青が薄れます。左下の窪みは s と無関係に金のまま残ります。スライダー一つがラプラシアンの地図全体を塗り直すのを見てください。

ラプラシアンがどこでも0の場を調和場（harmonic）と呼びます。ボタンで二つの場を切り替えてみてください。一つは h(x,y) = x·y、鞍の形です。すべての点で横に凹んだ分だけ縦に凸なので、二つがちょうど打ち消し合って ∇²h = 0 です。中心の標本の ∇² の表示がほぼ0で現れます。もう一つは b(x,y)、ガウスの隆起、本物の盛り上がった瘤なので、中心で ∇²b ははっきりと負です。要点はこれです。調和場は内部に峰も窪みも持てません。すべての点が近傍の平均に等しいので、最も高い、または低い場所はつねに境界だけにあります。これが定常状態の熱・電位・膜の深い規則です。

ラプラシアンがなぜ拡散のエンジンなのかを見ます。熱方程式は ∂f/∂t = ∇²f です。各点の値が、瞬間ごとにそのラプラシアンの分だけ変わるという意味です。窪み（∇²f > 0）は上がり、峰（∇²f < 0）は下がる、だからどこも近傍平均のほうへ引かれます。格子には峰を二つ載せた、でこぼこの初期状態があります。「一歩」ボタンを押すたびに、各マスが近傍平均のほうへ一歩近づきます。自動の繰り返しはありません。押したときだけ一歩進みます。押すほどに峰は低まり、谷は埋まり、色が一様にほどけていきます。「リセット」で最初のでこぼこへ戻ります。歩数を数えながら、ラプラシアンが差を消していくのを段階で直に見てください。