ラプラシアン とは
一点に立って、すぐ周りの隣の値を平均するとしましょう。その平均が立っている場所より高ければ窪みにいて、平均より低ければ峰です。この差がラプラシアンです。勾配の発散 ∇·∇f、つまり ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² で、隣の平均からどれだけ外れているかを一つの数で測ります。峰では負、窪みでは正になります。熱の広がり方、膜の張り、電位の落ち着きが、この一つの量にかかっています。勾配と発散と回転を、一点の 2 階微分で閉じる演算子です。 部屋の温度が隅の冷気と混ざって均一になり、縁だけを押さえられたゴム膜が真ん中で平らになり、空いた空間の電位が落ち着くことが、すべてこの一つの差から出ます。
場の上で探針をドラッグすると、その場所に小さな輪が隣の点を六つ囲みます。画面の下には三つの数が出ます。真ん中の値、隣六点の平均、そしてその差に比例する ∇²f です。右上の峰に置くと、隣の平均が真ん中より低いので ∇²f は負へ下り、青い峰になります。左下の窪みに置くと、隣の平均がより高いので ∇²f は正へ上がり、金色の窪みになります。ラプラシアンが、隣の平均からどれだけ外れているかという一つの数であることを、手で確かめる場所です。 輪を峰と窪みのあいだでゆっくり動かすと、負だった差が正へ越える尾根が見え、その尾根では真ん中の値と隣の平均が等しくなります。
同じ場で、ラプラシアンがなぜ勾配の発散なのかを見ます。探針をドラッグすると、周りの輪に勾配の矢印が六つ出て、各矢印はその場所で最も急な上りを指します。峰の上では矢印がすべて探針のほうへ集まります。上りが内側の峰を向くからです。内へ集まる流れは発散が負なので ∇·∇f < 0 になります。窪みの上では矢印がすべて外へのび、発散が正なので ∇·∇f > 0 です。画面には ∇²f = ∇·(∇f) とその生きた値がいっしょに出ます。発散に勾配をもう一度入れたものがラプラシアンだという事実を、矢印で見る場所です。 矢印が一か所へ集まれば、その点は高さを差し出している側です。四方へ伸びれば、その点は周りから高さを受け取って埋めている側です。
一点ではなく、場全体のラプラシアンを色で見ます。スライダー s は右上の峰の高さを 0.5 から 3 まで変え、背景の色が ∇²f の地図になります。金色は窪み（∇²f > 0、平均より下）、青は峰（∇²f < 0、平均より上）で、峰の頂上と窪みの底が最も濃いです。s を大きくすると右上の峰が盛り上がり、その場所の青い領域がより濃く広くなります。s を小さくするとその峰がしぼみ、青が薄くなります。左下の窪みは s と関係なく金色のままです。スライダー一つがラプラシアンの地図全体を塗り直します。 色が濃い場所は隣との差が大きく、灰色に近い場所はすでに隣とほぼ等しいので、これ以上ほどけるものが少ないです。
ラプラシアンがどこでも 0 の場を調和場 (harmonic) と呼びます。ボタンを押すと二つの場が交互に現れます。一つは h(x,y) = x·y、鞍です。すべての点で横に凹んだ分だけ縦に凸なので両者が打ち消し、∇²h = 0 になり、真ん中の見本の ∇² はほぼ 0 と出ます。もう一つは b(x,y) = ガウスの峰で、真ん中では ∇²b がはっきり負です。調和場は内側に峰も窪みも持てません。すべての点が隣の平均と等しいので、最も高い場所も低い場所もいつも境界にだけあります。定常の熱と電位と膜の規則がこれです。 だから縁の温度だけを決めれば内側はそれに従い、縁の電位だけを決めれば空いた内側はひとりでに埋まります。
ラプラシアンが拡散のエンジンである理由を見ます。熱方程式は ∂f/∂t = ∇²f で、毎瞬間各点の値がラプラシアンの分だけ変わるという意味です。窪み (∇²f > 0) は上がり、峰 (∇²f < 0) は下がるので、すべての場所が隣の平均のほうへ引かれます。格子に峰を二つ載せたでこぼこの開始があり、一歩ボタンを押すたびに各マスが隣の平均へ一歩近づきます。自動では繰り返さないので、押したときだけ一歩進みます。押すほど峰は低くなり谷は埋まり、色が均一にほどけ、最初へを押すと最初のでこぼこに戻ります。歩数を数えると、ラプラシアンが差を消していく過程が段階で現れます。 長く押すと最初のでこぼこは消え、格子全体が一つの静かな色として残ります。