分布は確率の広がりだ

まず、値が飛び飛びの離散分布から見ましょう。サイコロ一つは1から6まで等しく 16 ずつ、棒が六本、同じ高さで並びます。ところがサイコロ二つの和を見ると、形ががらりと変わります。和が7になるのは (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) の六通り、和が2になるのは (1,1) の一通りだけ。だから7は 636 で高く、2 と 12 は 136 で低い、真ん中が膨らんだ三角形の形になります。棒一本一本の高さが、その値が出る確率で、これを確率質量関数、PMF と呼びます。棒を押して各値の確率を確かめてみてください。肝心なのは、すべての棒の高さを足すとちょうど1になることです。どの値であれ必ず一つは出るからです。分布とはまさに「全確率1を、可能な値にどう分け与えるか」です。

値が連続ならどうなるでしょう。身長や体重、測定誤差のように、結果が切れ目なく続くときです。このときは棒を一本一本数えても意味がありません。ちょうど 173.4825...cm である確率は、事実上0だからです。代わりに標本を集めて区間ごとにまとめ、ヒストグラムを描きます。スライダーで標本数 N を増やしてみてください。N が小さいうちは棒がぎざぎざで粗いですが、N を増やすほど偶然の凸凹が平均されて消え、棒の輪郭がだんだん一本のなめらかな曲線に近づきます。この曲線が確率密度関数です。ヒストグラムは有限の標本の近似で、標本を無限に集めたときの理想の形が、まさに密度曲線です。つまり密度曲線は「値が連続のときの PMF」、棒を無限に細かく刻んでつないだなめらかな版です。データを多く集めるほど、そのデータの背後に隠れた本当の分布が現れます。

密度曲線から確率をどう読むのでしょう。ここが、人がいちばん混乱するところです。曲線の高さは確率ではありません。連続では一点の確率は0だからです。代わりに確率は、曲線の下の面積として読みます。「X が a と b の間にある確率」は、a から b までの曲線の下の面積です。二つの境界 a と b を動かして、間の区間を広げてみてください。面積が大きくなれば、その確率も大きくなります。山の高い真ん中を含めば、同じ幅でも面積が大きく、裾の平らなところは幅が同じでも面積が小さい。だから真ん中の値がよく出るのです。曲線全体の下の面積はちょうど1です。E1 で板の全体が1だったのと同じですね。結局、連続分布の確率は面積を測ること、すなわち積分です。微積分の積分が、確率でこのように使われます。

分布は、その広がりの形によって種類が分かれ、形ごとに似合う状況があります。タブで三つの代表的な分布を見ましょう。一様分布は、平らな長方形の曲線です。決まった区間内ならどこも等しく出るとき、たとえばコンピュータが作る乱数や丸め誤差がそうです。指数分布は、最初が最も高く、右へ行くほどがくんと落ちる形です。次の事象までの待ち時間、部品が故障するまでの時間、客が到着する間隔のように「短い待ちはよくあり、長い待ちはまれ」な場合に出ます。正規分布は、あの有名な釣鐘形です。真ん中が最も高く、左右対称になめらかに下がります。身長、試験の点数、測定誤差のように、多くの小さな要因が足されて生じる、ほとんどすべての自然な散らばりがこの形です。分布の形が分かれば、データがどう振る舞うかを前もって見当をつけられます。

最後に、密度と対をなすもう一つの絵があります。累積分布関数、CDF です。密度が「各値の近くに確率がどれだけ集まっているか」を見せるなら、CDF は「x 以下の値が出る確率」、つまり左端から x まで積み上げてきた累積の確率を見せます。絵で見れば明快です。上は密度曲線、下は CDF。x を動かすと、上では x までの面積が塗られ、下ではその面積の値が点一つとして打たれます。つまり CDF(x) は、まさに密度曲線の下の x までの面積です。x を左端から右端へ動かすと、面積をどんどん掃き集めるので、CDF は0から始まり1まで、一度も下がらずに上がります。密度の山の高い区間では CDF は急に、裾では緩やかに上がります。二つの曲線は、同じ分布を別の見方で見た一対です。密度は傾き、CDF はその傾きを積み上げた面積。微分と積分の関係が、ここでもそのままです。