保存場 ポテンシャル とは
一点を離れて別の点へ行くあいだに場がする仕事が、道をどう取っても同じなら、その場を保存場と言います。保存場には見えない高さの地形、つまりポテンシャル φ が敷かれていて、場はその地形の勾配 F=∇φ です。だから仕事は始まりと終わりの高さの差だけで、道は関係ありません。目印は回転です。保存場はどこでも回転が 0 で、閉じた輪を一周すると合計がちょうど 0 になります。逆に渦のように回転が 0 でなければ、そのようなポテンシャルはそもそもありません。同じ事実が四つの顔で現れます。回転 0、ポテンシャルがあること、道が関係ないこと、閉じた輪の合計 0。四つは実は一つの体です。重力と静電気がこの顔で、仕事を道ごとに数え直さなくてよい理由がここにあります。
保存場かどうかを見るいちばん速い試験が回転です。トグルで二つの場を行き来すると、違いがすぐに現れます。保存場 F=∇φ で探針をドラッグすると、どこに置いても回転 (∇×F)z が 0 に張り付き、点が緑で合格を知らせます。回転が 0 とは、くるくる回すねじれがないという意味で、敷かれたポテンシャルがある合図です。渦 [−y, x] に切り替えると、どこへドラッグしても回転が定数 2 に固まり、点が橙で不合格を知らせます。一点だけでも決着がつきます。回転が 0 でない場所が一つでもあれば、その場は保存場ではありません。緑と橙は合格と不合格を指し、回転の数は金色で出ます。
回転が 0 なら、見えないポテンシャル φ を丸ごと取り戻すことができ、矢印がその証拠です。保存場 F=∇φ の矢印はすべて色の明るい高い側、つまり φ の上りを向きます。金色の点をドラッグすると、その場所の高さ φ が数で出ます。この値は原点から出発して場に沿って積分し、一歩ずつ積んだ高さです。どの道で積分しても同じ値になるので、点をどこに置いても φ は一つの値に定まります。だから場だけが与えられても、その下に敷かれた地形 φ を一点一点復元できます。点の脇にはここで F = ∇φ という言葉が付き、矢印がその場所の上りだという意味を連れて歩きます。
ここで道が関係ないことを二つの道で直接見ます。A から B へ行く二つの道が敷かれていて、まっすぐ行く金色の直線の片と、上へ大きく回る青い回り道の弧です。ボタンを押して一つの道ずつ明るく強調すると、各道に沿った仕事が数で出ます。保存場なので二つの値は同じで、しかもどちらもちょうど φ(B) − φ(A) と一致します。端の点の高さの差一つで答えが全部決まります。渦だったなら二つの値は割れたでしょうが、ここでは道をどれほど曲げても始まりと終わりが同じなら答えは同じです。それが保存場の核心です。金色の直線と青い回り道が同じ数を出すことが、図の見せる全部です。
なぜ二つの値はいつもぴったり合うのでしょう。線積分の基本定理、つまり勾配定理のせいです。端点 A は固定して端点 B をドラッグすると、A から B へ行く金色の道が描かれます。その道に沿った線積分 ∫C F·dr と高さの差 φ(B) − φ(A) が並んで出ます。B をどこへドラッグしても二つの値はいつも一致します。式では ∫C ∇φ·dr = φ(B) − φ(A) です。道の上で積んだ細かな一歩が、結局は始まりと終わりの高さの差へきれいに畳まれます。普通の積分は道のすべての点を一つずつ追わなければなりませんが、保存場では両端の点だけ分かれば終わります。緑の文字が、二つの値がいつも等しいという意味を脇に添えます。
最後に、すべての場がポテンシャルを持つわけではないという事実を釘づけにします。渦 F=[−y, x] はどこでも回転が 2 です。原点を中心にした輪をスライダーで大きくすると、周りの金色の矢印がすべて同じ向きに回ります。一周して足した ∮F·dr が数で出ますが、どの半径でも 0 ではありません。正確には 2πr² なので、輪を大きくするほど大きくなります。もしこの場にポテンシャル φ があったなら、勾配定理により閉じた輪は出発=到着なので ∮ は必ず 0 でなければなりません。∮ が 0 でないという一つの事実が、この渦にはポテンシャルがそもそもないことを証明します。保存場と正反対で、その結論は橙の文字で書いてあります。