ベクトル解析 恒等式 わかりやすく

スカラーの隆起 φ があり、その上に金色の勾配の矢印が敷かれています。矢印はすべて隆起の頂上へ向かう上りを指します。スライダーで隆起の高さを大きくしたり小さくしたりすると、矢印は長くなったり短くなったりして揺れますが、脇の回転の色地図は最初から最後まで一つの中立色のままです。どう揺らしても ∇×(∇φ) は 0 からびくともしないからです。勾配の場は上りという一つの向きしか持たないので、回る成分はそもそも生まれません。登ることはできても、回ることは知らないのです。 中立色は回らないという意味で、隆起をどれほど高くしてもその色はそのまま残ります。

今度は反対側です。流れ関数 ψ から渦の場を作ります。横の成分は ∂ψ/∂y、縦の成分は −∂ψ/∂x で組み、こう作ると青い矢印が周りに沿ってぐるぐる回ります。スライダーで ψ の強さを大きくすると、渦は激しくなったり弱くなったりして揺れますが、脇の発散の色地図はまた一つの中立色のままです。発散が 0 から動かないからです。流れ関数で形づくった場は入った分だけ正確に出て、どの点でも漏れも集まりもしません。回ることはできても、漏れることは知りません。3 次元の ∇·(∇×A)=0 が 2D ではこのように現れます。 青い矢印がどれほど激しくなっても漏れる量は増えず、入ったものはそのまま出ていきます。

ここで二つを足した一般の場を見ます。ボタンで三つの姿を行き来できます。まず全体の場は、矢印が一方へ噴き上がりながら同時に回り、湧き出しか渦か一目では紛らわしいです。湧き出しのかけらを押すと勾配の部分だけが残り、隆起から四方へ伸びる純粋な流れが現れ、案内の文字が金色になります。渦のかけらを押すと流れ関数の部分だけが残り、ぐるぐる回る筋が見え、案内の文字は青になります。同じ場を二つの性格に分けたのです。どんな複雑な場もこのように湧き出しのかけらに渦のかけらを足して分かれることが、ヘルムホルツ分解の核心です。 ボタンを行き来するたびに同じ矢印が性格だけ変えて現れ、足しておいた二つの筋が別々に見えます。

湧き出しのかけらだけを引き離して見ます。矢印は金色の勾配の部分で、背景の色はその発散です。回転が 0 なのは先に見ましたが、発散は 0 ではありません。隆起の内側は濃い色に染まり、流れの湧き出しと吸い込みが全部ここへ集まっていることを見せます。探針をドラッグすると、どの点に置いても回転の読みは 0 の近くにとどまって回らず、発散の読みは場所によってはっきり正と負に分かれます。一つの場で流れが生まれ消える部分は、まるごとこの湧き出しのかけらが担います。渦はまったくありません。 正は流れが生まれる場所で、負は流れが消える場所です。どちらもこのかけらの中にだけあります。

今度は渦のかけらだけを引き離して見ます。矢印は青い流れ関数の部分で、背景の色はその回転です。発散が 0 なのは先に見ましたが、回転は 0 ではありません。二つの渦の場所は濃い色に染まり、場が回る部分が全部ここへ集まっています。探針をドラッグすると、どの点に置いても発散の読みは 0 の近くにとどまって漏れず、回転の読みは場所によって反時計まわりなら金色、時計まわりなら青に分かれます。結局一つの場は二つのかけらで、湧き出しのかけらがすべての発散を、渦のかけらがすべての回転を分け持ちます。発散と回転という二つの顔が、ここで一つの場に合わさり、また分かれます。 金色と青は回る向きが違うだけで、漏れる量はどちらも持ちません。