共振は振幅を爆発させる

まず舞台を整えます。C2 の振動系は、一度触れると自分で鳴って収まる閉じたシステムでした。ここに新しく外力を加えます。誰かが外から一定の拍子で押し続けるのです。方程式では右辺に Fcos(ωt) がつきます。m x'' + c x' + k x = Fcos(ωt)。ここで ω は押す人の拍子、駆動周波数です。システムがもともと揺れたい拍子 ω₀ とは別物。再生を押してください。赤い力の矢印が左右に押し、質量がその力に引かれて揺れます。よく見ると質量は力とちょうど同じ拍子で揺れますが、少し遅れて追います。この時間差を位相遅れといいます。少し待つと最初のぎくしゃくが収まり、一定の振幅で規則的に揺れる定常状態に落ち着きます。私たちが知りたいのは、まさにその定常状態の振幅がどれだけ大きいかです。

さて、肝心の問いです。押す力の強さ F はそのままで、拍子 ω だけ変えると、振幅はどう変わるでしょう。同じ強さで押しても、拍子によって結果はまったく違います。横軸に駆動周波数 ω、縦軸に定常状態の振幅を描いたのが、この共振曲線です。ω を動かしてゆっくり上げてみてください。ω がとても低いと、力がのろのろすぎて質量はただ力についていきます。振幅は小さく平ら。ω を上げて ω₀ に近づくと、振幅が急に跳ね上がります。毎回の押す拍子が、システムの揺れたい拍子と合って、エネルギーが効率よく積もるのです。ω をさらに上げて ω₀ を過ぎると、今度は力が速すぎて質量がついていけず、振幅がまた小さくなります。結局、振幅は ω₀ の近くで山を作る曲線です。拍子がすべてです。

山ができるまさにその場所、ω = ω₀ を詳しく見ましょう。駆動周波数がシステムの固有周波数と正確に一致する点です。三つの場合をボタンで比べてみてください。ω が ω₀ より低いときと高いときは質量がほどほどに揺れますが、ω = ω₀ のときは、同じ強さで押しているのに揺れが圧倒的に大きくなります。なぜよりによってここで、でしょう。ぶらんこを思い出せばいい。ぶらんこが前へ出るまさにその瞬間に押せば、押す力が100%運動に加わります。拍子がずれると、ある押しは助け、ある押しは妨げて、互いに削り合う。ω = ω₀ では、すべての押しが完璧に同じ向きに加わるので、エネルギーが漏れずに積もり続けます。だから小さな力でも巨大な振幅が作られるのです。これが共振の心臓です。

では、本当に振幅は無限に大きくなるのでしょうか。減衰が止めます。C2 で見た減衰 ζ、エネルギーを食うあの損失が、共振の爆発を抑えます。ζ を動かして変えてみてください。減衰がとても小さいと、山が天を突くように高く鋭い。毎回積もるエネルギーがほとんど漏れないので、ω₀ ちょうどその拍子でだけ途方もなく大きくなります。減衰を強めると、山が低くなり広がります。損失が大きくて振幅が際限なく積もれず、ω₀ 近くの広い範囲でそこそこ反応します。この山の鋭さを Q 値と呼びます。Q が大きい（減衰が小さい）と狭く鋭く、Q が小さいと広く鈍く反応します。ラジオは Q が大きくないと隣の放送が混ざり、一つの周波数だけをはっきり捉えられません。橋は Q が小さくないと、たまたま風が合っただけで崩れてしまいます。設計とは結局、この Q をどこに置くかの問題です。

この一つの現象が、世界のあちこちに隠れています。ぶらんこは親しみやすい側です。小さな力を拍子に合わせて加え、大きな振幅を楽しむ、共振をわざと使う場合です。橋は恐ろしい側。1940年のタコマ橋は、風が作った周期的な力が橋の固有振動数と合って、振幅が手に負えないほど大きくなって崩れました。だから橋や建物は、固有振動数がありふれた外力と重ならないように、減衰を十分に与えて Q を低く設計します。ラジオは共振を賢く使う側です。アンテナには無数の放送信号が同時に入りますが、回路の固有周波数を欲しい放送に合わせると、その信号だけが共振で大きく増幅されて選び出されます。ダイヤルを回すとは、回路の ω₀ を変えることです。共振は、うまく使えば道具、知らずに受ければ災害です。