複素数の掛け算 回転 わかりやすく

まず複素数を平面に座らせます。金色の点をつかんでどこへでもドラッグすると、横に進んだ分が実部 a、縦に進んだ分が虚部 b です。点から二つの軸へ下ろした緑とオレンジの点線がその二つの値を指し、下にも同じ値が表示されます。右上なら a, b はどちらも正、左下ならどちらも負です。複素数一つが平面上の点一つであり、平面上の点一つが複素数一つです。実数はこの平面で横軸の上にだけ住む特別な場合で、i は原点から上へ 1 マス、つまり縦軸の向きだと考えれば十分です。複素数を数ではなく平面上の位置として見るこの一歩が、残りすべてを解く鍵です。

次に、i を掛けると何が起こるかを見ます。点を一つ置いて「i を掛ける」ボタンを押すと、点は原点を中心にちょうど 90 度反時計回りに回ります。長さはそのままで、向きだけが 90 度変わります。1 から始めると 1 → i → −1 → −i、そしてまた 1 です。点線の円の上に四つの位置が記されていて、いま点がある位置だけが金色に光ります。4 回押すと元の場所に戻るのは、i を掛けることが 90 度の回転で、4 回なら 360 度、つまり一回転だからです。i を 2 回掛けると 180 度で、それがまさに i² = −1 です。なぜ −1 が i の二乗なのかという疑問が、半周回れば反対側という絵に変わります。掛け算は回転だというこの講の一行を、いちばんすっきり示しているのが i です。

i だけではなく、どんな複素数を掛けても回転と拡大です。緑の矢印とオレンジの矢印をそれぞれドラッグすると、二つの積が金色の矢印としていっしょに描かれます。規則はたった二行です。角度は足し、長さは掛けます。下の二行には、いまの二本の矢印の角度を足した値と長さを掛けた値が表示されます。たとえば一つ目が 30 度で長さ 2、二つ目が 40 度で長さ 1.5 なら、積は 70 度で長さ 3 です。掛けるとは、一方の矢印を、もう一方の角度の分だけさらに回し、その長さの分だけさらに伸ばすことです。i は長さ 1 で角度 90 度だったので、i を掛けると長さはそのまま (×1) で、角度だけが +90 度です。さっき見た 90 度の回転は、この一般的な規則の一つの場合だったのです。掛け算は覚える公式ではなく、回して伸ばす動作として見れば十分です。

角度と長さが掛け算の本当の主役なら、複素数をはじめからその二つで書くほうがよいでしょう。それが極形式です。点をドラッグすると二つの数がいっしょについてきます。原点から点までの距離 r と、横軸から測った角度 θ です。図では点線の円の半径がその距離で、原点のそばの金色の弧がその角度です。同じ点を a+bi の代わりに r∠θ と呼ぶわけで、二つは a=r cos θ、b=r sin θ で行き来し、下の行にその値が表示されます。わざわざ書き換えるのは、極形式では掛け算がとても簡単になるからです。r₁∠θ₁ 掛ける r₂∠θ₂ は、ただの (r₁r₂)∠(θ₁+θ₂) です。長さは掛けて角度は足すという前の規則が、一行の公式になるのです。回転が大事な問題では、a+bi より r∠θ のほうがずっと便利です。次の講の e^iθ は、まさにこの極形式を一文字に圧縮したものです。

最後に、共役と大きさの二つを押さえます。金色の点をドラッグすると、横軸を鏡にして上下に裏返した青い点がいっしょに動きます。それが共役 z̄ です。a+bi の共役は a−bi で、虚部の符号だけを変えたものです。絵で見れば実軸についての鏡映です。そして原点から点までの距離が大きさ |z|、つまり点線の円の半径で、ピタゴラスの定理から |z|=√(a²+b²) です。共役と大きさは対になっています。z に z̄ を掛けると、角度は θ と −θ なので足して 0 になり、長さは |z|·|z|、つまり z·z̄=|z|² です。回転がちょうど打ち消し合い、純粋な長さの二乗だけが残るのです。下の行でその値をすぐに読めますし、この |z|² は、のちに交流の電力や信号の強さを測るときにそのまま登場します。