2階微分方程式 減衰 わかりやすく
ばねにつるしたおもりは揺れてからおさまり、ラジオの回路はある決まった周波数で震えます。まるで違って見えるこの二つが、実はまったく同じ方程式に従っています。質量・減衰器・ばねの m x'' + c x' + k x = 0 と、コイル・抵抗・コンデンサの L q'' + R q' + qC = 0 は、文字が違うだけで構造は瓜二つです。これが 2 階線形微分方程式です。前の講で、1 階の方程式は方向場に沿って流れると述べました。2 階ではそこに加速度が割りこみ、振動が可能になります。その振動が揺れてから止まるのか、すうっと戻ってくるのかを決めるのは、特性根という二つの数です。そしてその特性根が複素数のとき、複素数の流れで見た e(σ+iω)t の減衰する渦巻きが、そのまま答えとして飛び出してきます。この講では、特性根の位置一つで振動の運命がどう分かれるのかを、実際に動かして確かめます。
まず、ばねと回路が本当に同じ式なのかを見ます。図の上側は壁にばねと減衰器でつながれた質量、下側はコイル・抵抗・コンデンサでできた RLC 回路です。下のボタンで組を一つずつ選ぶと、上下で対応する二つの部品がいっしょに光ります。質量 m はコイル L と組です。どちらも変化に逆らう慣性で、質量は速度を、コイルは電流を保とうとします。減衰器 c は抵抗 R と組です。どちらもエネルギーを熱として逃がし、運動を小さくします。ばね k はコンデンサの 1C と組で、どちらも押された分だけ押し返す復元力です。だから二つの方程式 m x'' + c x' + k x = 0 と L q'' + R q' + qC = 0 は、文字を入れ替えただけの双子です。一方を解けば、もう一方も解いたことになります。機械工学と電気工学が同じ数学を使うのは偶然ではなく、自然が同じ構造を繰り返しているからです。
この方程式はどう解けばよいのでしょうか。鍵となる考えは、答えが est の形だろうと見当をつけることです。指数関数は微分しても自分自身なので、前の講の y'=ky を思い出せば、x=est を入れたとき、微分はただ s を掛けることに変わります。すると m x'' + c x' + k x = 0 は、すっきりした 2 次式 s² + 2ζs + 1 = 0 に縮みます(便宜上、正規化しています)。この 2 次式の二つの根が特性根で、答えの性質をすべて握っています。根を複素平面、電気工学で s 平面と呼ぶところに打つと、減衰が弱いとき、二つの根は半径 ω₀ の点線の円の上に共役の組として座ります。実部 −ζ はどれだけ左へ入ったかを表す減衰で、虚部 ±√(1−ζ²) は上下にどれだけ開いたかを表す振動数です。ζ のボタンを押し替えると、二つの根が円の上を滑ります。解くことが、この二つの点を探すことに変わったのです。
特性根が複素数だと何が起こるのでしょうか。答えはまさに、複素数の流れで見たあの減衰する渦巻きです。根が s = σ ± iωd なら、答えは eσt と振動 cos(ωd t) を掛けた形です。だから時間応答を見ると、コサインのように揺れながら、その振幅が eσt の包絡線に沿ってだんだん小さくなります。鐘を一度つくと音が鳴ってから消えていく、まさにあの形です。実部 σ はどれだけ速くおさまるかを決める減衰率で、虚部 ωd はどれだけ速く揺れるかを決める振動数です。ζ のボタンで根を虚軸の近くへ寄せると、減衰が弱くなって長く鳴り続けます。逆に、根が虚軸から離れるほど速くおさまります。前の渦巻きを横から見ると、まさにこの揺れる曲線です。複素特性根の一組が、そのまま一つの減衰振動なのです。
減衰をだんだん大きくするとどうなるでしょうか。ある瞬間、振動がすっかり消えます。減衰が十分に強くなると (ζ ≥ 1)、特性根は複素数から実数に変わります。s 平面で円の上にあった共役の組が負の実軸で出会い、どちらも実根になるのです。複素数ではないので cos の振動がありません。答えは指数的におさまる単調な曲線で、揺れることなくそっと元の位置へ戻ります。二つのボタンで二つの場合を見比べると、臨界減衰 (ζ = 1) は振動せずにいちばん速く戻る、ちょうど境目の状態です。過減衰 (ζ > 1) は硬すぎて、のろのろと戻ってきます。自動車のショックアブソーバーや、ドアがバタンと閉まらないようにする装置は、わざとこの領域、つまり振動しない側に設計されています。揺れてはいけないシステムは、特性根を実軸の上に置くのです。
いよいよ全体を一つの場面にまとめます。上は特性根がすむ s 平面、下はその根が生む時間応答です。下のトラックで ζ を 0 からゆっくり大きくすると、はじめは二つの根が円の上に共役の組として虚軸の近くにあり、応答は長く鳴り続けます。ζ を大きくするほど、二つの根は円に沿って実軸のほうへ滑り、鳴りはだんだん速くおさまります。ζ = 1 で二つの根が実軸でぴったり出会い、その瞬間が臨界減衰、つまり振動が消える境目です。トラックの上の目盛りがその位置を示しています。さらに大きくすると、二つの根は実軸の上で左右に分かれ、応答はゆっくりした単調な戻りになります。上の二つの点と下の曲線が、一体となっていっしょに動きます。これが 2 階のシステムのすべてです。根の位置一つで、振動するかどうか、どれだけ速くおさまるか、どれだけ速く揺れるかがすべて決まります。制御工学とは、結局この特性根を望む位置へ動かす技術なのです。