期待値 分散 とは

まず、期待値をてんびんで感じます。金色の棒の上に重さの違うおもりが四つ載っていて、おもりごとに書かれた数がその重さです。棒がちょうど釣り合う支点、その位置こそが重心です。おもりをドラッグして動かすと、下の金色の支点がすぐについてきて、また釣り合いをとります。支点が重いおもりのほうへ寄るのがわかります。軽いおもりをどれだけ遠くへやっても支点はあまり動きませんが、重いおもりは少し動かしただけで支点が大きくついてきます。これがまさに期待値です。確率では、おもりの重さはその値が出る確率で、おもりの位置はその値です。確率の高い値ほど、平均を強く引き寄せます。だから期待値は、確率という重さで測った中心、分布が釣り合うただ一つの点なのです。

その釣り合いの点はどう計算するのでしょうか。加重平均です。値を全部足して個数で割るふつうの平均ではなく、各値にその値が出る確率を掛けて足します。式では E[X] = Σ x·p(x) です。さいころを例にとると、ふつうのさいころは 1 から 6 まで確率が同じく 16 なので、平均は 3.5 です。ところが重さが片側に偏ったいかさまのさいころなら、話が変わります。棒の高さをドラッグしてある目の確率を大きくすると、その目がよく出るようになり、下の青い三角形と平均 E[X] がその目のほうへ引っぱられます。確率の大きい値ほど、和に大きく効くからです。それぞれの値が自分の確率の分だけ発言権を持ち、平均の位置をめぐって綱引きをしているわけです。前のブロックのてんびんを数に置きかえると、まさにこの加重和です。重さ = 確率、位置 = 値、釣り合いの点 = Σ x·p(x) です。

中心がわかったので、次は広がりを測ります。分散です。核心の問いは、値が平均から平均的にどれだけ離れているかです。ただ距離を平均するのではいけません。平均より大きいほうは正、小さいほうは負なので、打ち消し合って 0 になってしまうからです。そこで距離を二乗します。二乗すると符号が消えて、すべて正になります。青い点をドラッグして散らすと、各点から金色の点線で示された平均までの距離を一辺とする正方形が描かれ、その正方形の面積がまさに距離の二乗です。分散は、これらすべての正方形の面積の平均です。点が平均の近くに身を寄せ合えば正方形は小さく分散も小さく、広く散らばれば正方形が大きくなって分散はぐんと大きくなります。距離を二乗したので、遠く離れた点ほどずっと重い罰を受けます。だから分散は、極端な値に敏感な、広がりの厳しいものさしなのです。

分散には一つ不便なところがあります。距離を二乗したので、単位まで二乗になってしまうのです。身長を cm で測ったなら、分散の単位は cm²、つまり面積の単位です。身長の広がりが 25 平方センチメートルと言われてもぴんときません。そこで二乗したものを平方根でもとに戻します。それが標準偏差です。標準偏差 = √分散で、単位がまた cm に戻り、もとの値と同じ単位になります。身長の広がりが 5cm と言われれば、すぐにわかります。下のトラックで σ をドラッグすると、標準偏差 σ が釣鐘形の曲線の自然な幅であることがわかり、曲線の上の青い定規が、真ん中から両側へ σ ずつのびた幅を示します。σ は、山の頂から曲線の肩が折れ曲がる点までの距離でもあります。σ が小さいと曲線は狭くとがり、大きいと広くなだらかになります。まとめると、分散 σ² は計算しやすい二乗の単位の量で、標準偏差 σ は実際にどれだけ散らばっているかをもとの単位で感じさせてくれる、私たちがふだん使う幅なのです。

最後に、値に手を加えると、この二つの数がどう変わるかを見ます。単位の換算や補正のように、X を aX+b に変えることはとてもよくあります。摂氏を華氏に、メートルをフィートに直すときがそうです。下の二つのトラックで a と b を動かすと、灰色の点線のもとの分布の横に、金色の変わった分布が描かれます。まず b は、すべての値に同じ数を足すことなので、分布を形のまま丸ごと横へずらします。だから平均も b だけ移りますが、広がりの程度は少しも変わりません。みんないっしょに動いたので、互いの距離はそのままだからです。一方 a は、伸ばしたり縮めたりします。平均は a 倍になり、曲線の幅も a 倍に広がります。だから標準偏差は |a| 倍、分散は距離を二乗した量なので a² 倍になります。式では E[aX+b]=aE[X]+b、Var(aX+b)=a²Var(X) です。足し算は中心だけを動かして広がりはそのまま、掛け算は中心と広がりをいっしょに伸ばしますが、分散は二乗で伸びます。この規則のおかげで、単位を変えても、データを標準化しても、統計量がどう変わるかを頭の中ですぐに計算できます。