場はすべての点に値を貼りつける

まずスカラー場です。点ごとに数が一つ貼ってあります。色が暖かいほど値が大きい温度地図です。探針を動かしてみてください。どこに置いても、その点の温度がすぐに読めます。大事なのは、値が「その点にあらかじめ入っていた」ということ。探針は新しく作るのではなく、すでにそこにあった値を読むだけです。空間のすべての点に値がもれなく敷いてある、それが場です。

場には二種類あります。点に貼ってあるのが数一つならスカラー場、矢印一つならベクトル場です。トグルで二つを切り替えてみてください。スカラー側は高度の地図です。点ごとに「どれだけ高いか」が一つだけ。ベクトル側は風です。点ごとに「どちらへ、どれだけ強く」吹くかを矢印が教えます。同じ空間でも、貼った情報の種類が違うんです。高さや温度のように大きさだけならスカラー、速度や力のように向きまで要るならベクトルです。

では、ベクトル場をよく見ます。背景に薄い矢印が点ごとに敷いてあります。探針を動かすと、その位置の矢印が太く浮かび上がり、隣に（横、縦）の成分が数で出ます。一つの点で、矢印は二つを同時に語ります。どちらを向くか（向き）、どれだけ強いか（長さ）。場所を移せば向きも強さも一緒に変わります。ベクトル場を「読む」とは、気になる点でこの矢印が何かを取り出すことです。

場は結局、関数です。点 (x, y) を入れると矢印（横、縦）が出る規則。規則を変えれば、矢印すべてが一度に組み直ります。手すりは二つ。外向き s は原点から押し出したり引き寄せたりし、渦 r はぐるりと回します。s だけ上げれば四方へ広がる湧き出し（source）、マイナスに下げれば吸い込む吸い込み（sink）。r だけ上げれば渦巻きに。二つを混ぜれば内へ巻く螺旋も出ます。一つの式が空間全体の矢印を定める、これが場を扱う力です。

場はなぜそんなに役立つのでしょう？ 流れを定めるからです。場に粒子を一つ落としてみてください。粒子は今いる点の矢印が指す方へ一歩進み、新しい位置でまたその点の矢印に沿って一歩進みます。これを繰り返すと経路が描かれます。この経路を流線（streamline）と呼びます。種をあちこち動かしてみてください。出発点が変われば、たどる道も変わります。風に乗る塵、川面の葉、磁場の中の方位磁針、どれもこうして場をたどります。次の講からは、この場が点から点へ「どう変わるか」を測り始めます。