微分方程式は傾きの地図だ
「微分方程式」と聞くだけで頭が痛くなりますよね。y'=x−y のような式を見ると、「y が何かも分からないのに、その微分が式に入っている。一体どこから始めればいいんだ」と思う。ところが出発点は意外なほど単純です。y' は、その点での曲線の傾きです。つまり y'=f(x,y) という式は、平面のすべての点ごとに「ここではこの傾きで通り過ぎよ」と定める地図なのです。各点に小さな矢印を描けば、平面じゅうが傾きの矢印で埋まる、方向場になります。解を求めるとは、ある出発点から始めて、その矢印を忠実にたどって曲線を描くこと。公式を覚える前に、微分方程式が描くこの「流れの地図」を目で見れば、残りはずっと易しくなります。この講では、その地図を自分でたどってみます。
まず、微分方程式が描く地図を見ましょう。y'=x−y でやってみます。この式は、平面の各点 (x, y) で曲線が持つべき傾きを x−y と定めます。点 (2, 0) なら傾き2、点 (0, 2) なら傾き −2。だから、すべての点にその傾きの向きの短い線を引くと、画面いっぱいに小さな斜線が敷かれます。これが方向場です。プローブをあちこち動かしてみてください。点が変わるたびに、その場所の傾きがどう定まるかが数で出ます。まだ解は求めていません。ただ「どの点からでも、どの向きへ行くべきか」がすべて定まっている、それを見るだけです。微分方程式は答えを直接くれるのではなく、こうして道案内をくれるのです。
では、その地図をたどってみましょう。出発点を一つ打つと、そこから矢印の指す向きへ一歩、またそこで新しい傾きを読んで一歩、こうして忠実にたどると曲線が一本描かれます。それが微分方程式の解です。出発点を動かしてみてください。曲線はいつも斜線と平行に、まるで川が地形に沿って流れるように、場に沿って流れます。どの点を通っても、その点での曲線の傾きはちょうど x−y になる。解とは神秘の公式ではなく、「毎瞬間、定められた向きへ流れた跡」だと目に見えますね。コンピュータが微分方程式を解くやり方も、まさにこれ。小さな歩幅で矢印をたどることです。
一つの方向場に、解曲線は一本ではありません。無数にあります。画面を見ると、曲線たちが髪をとかしたように場の全体を埋めていますね。同じ微分方程式なのに、出発点が違えば違う曲線をたどるからです。では、その多くの曲線のうち、どれが「私の答え」でしょう。それは初期条件が定めます。y軸のハンドルを動かして y(0) の値を変えてみてください。「x=0 のとき y はいくつ」という条件一つが、ぎっしりした曲線の家族の中からちょうど一本を選び出します。微分方程式は曲線の家族の全体を与え、初期条件がそのうち一本を選ぶ。だから実際の問題は「方程式＋初期条件」が一そろい。出発点が分かって初めて、どこへ流れるかが一つに定まるからです。
最も重要な方向場の一つを、別に見ましょう。y'=ky、傾きが y の値そのものに比例する場合です。肝心なのは「多いほど速く変わる」。y が大きければ傾きも大きく、y が小さければ傾きも小さい。k を動かしてみてください。k が正なら、上へどんどん急になって爆発的に大きくなる曲線、まさに指数成長です。k が負なら、だんだん平らになって0へ収まる指数減衰。解は y=ekx。2講で見たあの e が、ここで自然に飛び出します。「自分の値に比例して育つもの」の答えが、まさに指数関数だからです。人口の増加、放射性崩壊、RC回路の充放電、複利、すべて y'=ky の一行。自然界で指数があれほど頻繁に出てくる理由が、この単純な方向場です。
最後に、手で正確に解く方法を一つ見ましょう。変数分離です。y'=−xy の方向場を見ると、矢印が原点を中心にぐるりと回る形。解は同心円です。どう式で確かめるか。y' を dy/dx と書いて、x は x どうし、y は y どうし、両辺に分けるのです。y dy = −x dx。こうして変数が分かれれば、両辺をそのまま積分できます。y²2 = −x²2 + C、整理すれば x²+y²=C、まさに円です。ボタンを押してこの過程を広げてみてください。方向場が見せた「円を描いて回る流れ」を、変数分離が x²+y²=C という正確な公式で確かめてくれます。絵（方向場）と計算（変数分離）が同じ答えを指す。変数がきれいに分かれる微分方程式は、こうして積分一回で解けます。