신호·시스템·제어

연속/이산, 주기/비주기. 후보 라벨을 신호에 겹쳐 보며 두 독립된 질문으로 신호의 종류를 정한다.

임펄스 · 계단 · 지수. 계단은 임펄스의 누적이고 임펄스는 계단의 도함수다. 적분 상한을 직접 쓸어 계단이 쌓이는 것을 본다.

시간 이동 · 스케일 · 반전. 두 슬라이더로 신호를 목표 파형에 포개며 x(at - b)를 안쪽부터 읽는 법을 익힌다.

모든 신호는 짝 부분과 홀 부분의 합으로 유일하게 갈린다. 신호를 자기 반전과 겹쳐 두 조각을 끄집어내고, 에너지 신호와 전력 신호를 가른다.

선형 · 시불변 · 인과. 비선형 세기를 줄여 두 경로가 포개지는 순간을 찾으며 선형성이 곧 중첩임을 확인하고, LTI로 이어진다.

LTI 시스템은 임펄스 하나에 대한 응답 h(t)로 완전히 정해진다. 임펄스의 크기와 위치를 옮겨 출력이 늘 h의 복사본임을 본다.

합성곱은 응답을 뒤집어 밀고 입력과 곱해 겹친 넓이를 재는 일이다. 슬라이드 위치를 옮기며 겹친 넓이가 출력 곡선을 그리는 것을 본다.

한계점으로 시간을 구간으로 나누고 각 구간에서 곱을 적분한다. 사각 펄스 둘의 합성곱이 구간별 식으로 삼각형이 되는 것을 본다.

안정·인과는 임펄스 응답 h의 모양에 적혀 있다. 감쇠율을 움직여 누적 |h| 면적이 천장에 닿는 순간이 안정임을 본다.

계단 응답은 임펄스 응답의 누적 적분이고, 미분하면 다시 임펄스 응답이다. 시각을 키워 s가 최종값(DC 이득)에 정착하는 것을 본다.

주기 신호는 기본 주파수의 정수배인 화음들의 합이다. 화음 항 수를 늘려 부분합이 사각파를 되찾는 것과 깁스 현상을 본다.

스펙트럼은 신호를 주파수 축에서 본 그림이다. 주파수 슬라이더로 정현파의 스펙트럼 선을 옮기며 시간과 주파수가 한 쌍임을 본다.

주기를 무한히 늘리면 이산 화음 선이 연속 스펙트럼으로 녹는다. 펄스 폭을 움직여 사각 펄스 ↔ sinc의 시간·주파수 역수 관계를 본다.

시간 영역의 합성곱이 주파수 영역의 곱셈이 된다. h의 폭을 움직여 y=x∗h와 Y=X·H가 함께 변하는 합성곱 정리를 본다.

주파수 응답 H(ω)의 크기는 이득, 위상은 지연이다. 입력 주파수를 올려 출력 정현파가 줄고 밀리는 통과대·차단대를 본다.

보드선도는 크기를 dB, 주파수를 로그 축으로 그려 곡선을 직선 점근선으로 편다. 코너 주파수를 옮겨 −20dB/십배 기울기를 본다.

필터링은 스펙트럼에 필터를 곱하는 일이다. 종류 버튼과 컷오프 슬라이더로 통과대를 목표 띠에 맞추며 대역폭과 네 필터를 본다.

라플라스 변환은 푸리에에 수렴 인자 e^(−σt)를 더해 jω를 s=σ+jω로 넓힌다. σ를 움직여 커지는 신호가 수렴하는 ROC를 본다.

s 평면 위 극의 위치가 시스템의 행동이다. σ·ω 두 슬라이더로 극을 옮겨 좌반면이면 안정, 우반면이면 발산함을 본다.

전달함수 H(s)=출력/입력은 시스템 그 자체다. 계수를 움직여 미분방정식·H(s)·극·임펄스 응답이 한 몸으로 움직이는 것을 본다.

직렬은 곱, 병렬은 합, 피드백은 H/(1+HG). 피드백 이득을 키워 불안정 플랜트의 극을 좌반면으로 옮겨 안정시킨다.

극의 위치가 응답의 모양을 정한다. 1차는 시간상수 τ 의 지수, 2차는 감쇠비 ζ 와 ωn 이 과·임계·부족감쇠를 가른다. ζ 를 맞춰 넘침 없이 가장 빨리 정착시킨다.

연속 신호를 표본해 되살리려면 표본 속도가 최고 주파수의 두 배보다 빨라야 한다(나이퀴스트). 표본 속도를 움직여 에일리어싱과 복원 조건을 본다.

접는 주파수 fs/2 는 거울이다. 그 위의 진짜 주파수는 |f − fs·round(f/fs)| 로 접혀 낮은 가짜로 보인다. f 를 올려 접힘 삼각파와 바퀴·모아레·음정 왜곡을 본다.

이산 신호의 라플라스 변환. 한 칸 지연 = z⁻¹ 곱이라 극 z = r·e^(jθ) 가 모드 rⁿ cos(θn) 을 정한다. 안정 경계는 단위원(|z|<1). z 평면 극을 옮겨 본다.

이산 LTI 는 임펄스 응답 h[n] 하나로 정해지고, 출력은 이산 합성곱 Σ h[k]x[n−k]. 평활 세기로 h[n] 를 늘여 잡음을 깎는다. FIR·IIR 과 단위원 안정.

DTFT 는 이산 신호의 스펙트럼(단위원 위 z 변환), DFT 는 그것을 N 점에서 표본한 계산 가능판(FFT). 신호 주파수가 눈금에 맞으면 한 점, 어긋나면 스펙트럼 누설.

극을 풀지 않고 특성방정식 계수만으로 안정을 판정한다. 라우스 표 첫 열의 부호 변화 수 = 우반면 극의 수. 이득 K 를 움직여 극이 허수축을 넘는 경계를 본다.

닫힌 루프 극(1+KG=0 의 근)이 이득 K 가 변할 때 s 평면에 그리는 길. 열린 루프 극에서 영점으로 가며 허수축을 넘는다. 극을 목표 ζ=0.5 선에 올려 설계 이득을 읽는다.

열린 루프 보드선도에서 불안정(−1 조건)까지의 거리를 위상여유와 이득여유로 읽는다. 이득 K 를 움직여 두 여유가 K=6 에서 0 이 되는 것을 본다(F1·F2 와 같은 경계).

열린 루프 L(jω) 를 복소평면에 그려 −1 을 감싸는 횟수로 안정을 판정한다(Z=N+P). 이득 K 를 움직여 −K/6 교차가 −1 을 넘어 곡선이 −1 을 감싸는 것을 본다(K=6 경계).

플랜트 G=1/((s+1)(s+2)) 에 PID 제어기 u=Kp·e+Ki·∫e+Kd·de/dt 를 걸어 계단 응답을 빚는다. 비례만이면 정상상태 오차가 남고, 적분이 그 오차를 0 으로, 미분이 진동을 잡는다. 세 이득을 움직여 빠르고 정확하고 부드러운 응답을 맞춘다(닫힌 루프 특성식 s³+(3+Kd)s²+(2+Kp)s+Ki).

F1~F4 와 같은 플랜트에 보상기 C(s)=(1+αTs)/(1+Ts) 를 끼워 보드선도의 위상·이득을 모양 잡는다. 진상(α>1)은 ω_m=1/(T√α) 에서 위상을 φ_max=asin((α−1)/(α+1)) 만큼 들어 위상여유를 키우고(미분 항처럼), 지상(α<1)은 저주파 이득을 키워 정상상태 오차를 줄인다(적분 항처럼). α·ω_m 을 움직여 봉우리를 교차 주파수에 얹어 PM≈11°→좋은 값으로 끌어올린다.

닫힌 루프가 목표를 못 따라가 남기는 오차를 최종값 정리 e_ss=lim_{s→0} s·R/(1+L) 로 읽는다. 입력(계단·램프·포물선)과 시스템형(0·1·2형, 원점 극의 수) 버튼과 이득 K 로 추종 오차 e(t) 를 빚어, 시스템형>입력 차수면 0, 같으면 유한(1/(1+Kp)·1/Kv·1/Ka), 낮으면 발산함을 본다. 1형 K/(s(s+1)(s+2)) 는 F1~F6 의 그 플랜트. F 챕터 마무리.