SC · 제어

안정도와 라우스 판별법

시스템이 안정한지, 곧 모든 극이 좌반면에 있는지는 극을 직접 풀지 않고 특성방정식의 계수만으로도 알 수 있다. 계수로 라우스 표를 세우면 첫 열에서 부호가 바뀌는 횟수가 곧 우반면 극의 수다. 이득을 움직이며 첫 열의 한 칸이 0을 지나는 순간 극이 허수축을 넘어 불안정해지는 것을 이 강에서 확인해요.

극을 풀지 않고 안정 판정하기

D4 유닛의 피드백처럼 K/(s(s + 1)(s + 2))에 이득 K로 단위 피드백을 걸면, 닫힌 루프 특성방정식은 s³ + 3s² + 2s + K = 0이다. 위 그림은 s 평면이고 금색 ×가 그 세 극, 초록으로 칠한 좌반면이 안정 영역이에요. 아래 표시 칸에는 이 계수로 세운 라우스 표의 첫 열 1, 3, (6 − K)/3, K가 적혀 있고, 음수가 된 칸은 빨갛게 바뀐다. 처음 K = 8에서는 (6 − K)/3이 음수라 부호가 두 번 바뀌고, 복소 극 한 쌍이 허수축 오른쪽에 있다. K를 6 아래로 내리면 그 칸이 양수로 돌아오고 같은 순간 두 극이 허수축을 건너 좌반면으로 들어오니, 라우스 표만 보고도 극을 풀지 않고 그 경계를 알 수 있어요.

s 평면 (× = 닫힌 루프 극)

이득 K8.0

라우스 첫 열과 극

라우스 첫 열: 1 · 3 · -0.67 · 8.0

부호 변화 = 2 · 우반면 극 = 2

라우스 표 첫 열의 (6 − K)/3 칸이 음수로 바뀌어 첫 열에서 부호가 두 번 바뀌었다(양 → 음 → 양). 그 두 번이 곧 우반면 극 두 개이고, 복소 극 한 쌍이 허수축을 넘어 우반면에 들어가 응답이 발산해요. 이 예에서는 K > 6일 때 이렇게 된다.

불안정 (우반면 극)

안정은 모든 극이 좌반면

D2 유닛에서 보았듯이 시스템이 안정하려면 특성방정식의 모든 근, 곧 모든 극이 좌반면(실수부가 음수)에 있어야 하고, 하나라도 우반면에 있으면 그 모드가 발산한다. 그런데 삼차만 넘어가도 근을 손으로 푸는 일은 고되고, 차수가 더 높으면 사실상 불가능하다. 다행히 알고 싶은 것은 근의 정확한 값이 아니라 '모두 좌반면에 있는가'라는 예, 아니오 하나뿐이에요. 라우스–후르비츠 판별법은 근을 전혀 풀지 않고 특성방정식의 계수만 엮어 그 답을 낸다. 먼저 필요조건이 하나 있는데, 모든 계수가 빠짐없이 있고 부호가 같아야(보통 양수) 한다는 것이다. 계수가 하나라도 빠지거나 부호가 다르면 그것만으로 안정하지 않다고 판정할 수 있다.

관찰안정 ⟺ 모든 극이 좌반면

안정하려면 모든 극이 좌반면에 있어야 한다.

고르기필요조건: 모든 계수 ?

계수가 빠지거나 부호가 다르면 이미 안정하지 않다.

빈칸우반면 극 수 = 첫 열의 ?

첫 열의 부호 변화 수가 우반면 극의 수다.

스스로s³+3s²+2s+K 안정 ⟺ 0 < K < ?

(6 − K)/3 > 0이어야 안정하다.

라우스 표와 첫 열의 부호

라우스 표는 특성방정식의 계수를 두 줄에 번갈아 적는 데서 시작한다. s³ + 3s² + 2s + K라면 s³ 줄에 1과 2를, s² 줄에 3과 K를 놓는다. 그 아래 줄부터는 위의 두 줄을 2×2 행렬식처럼 엮어 채우는데, s¹ 줄의 첫 값은 (3·2 − 1·K)/3 = (6 − K)/3이고 s⁰ 줄은 K다. 이렇게 만든 첫 열 1, 3, (6 − K)/3, K가 판정의 전부예요. 규칙은 하나다. 첫 열을 따라 내려가며 부호가 바뀌는 횟수가 우반면 극의 수와 정확히 같아서, 부호 변화가 없으면 우반면 극이 없어 안정하고, 한 번이면 1개, 두 번이면 2개가 우반면에 있다. 이 예에서는 (6 − K)/3가 양수, 곧 K < 6이면 부호 변화가 없어 안정하다.

경계 이득과 설계

첫 열의 한 칸이 정확히 0이 되는 지점이 안정과 불안정의 경계다. 이 예에서는 (6 − K)/3 = 0, 곧 K = 6이 임계 이득이고, 그때 s² 줄로 보조 방정식 3s² + 6 = 0을 세워 풀면 s² = −2, 곧 극이 s = ±j√2에 놓인다. 이것이 시스템이 일정한 진폭으로 진동하는 각주파수 √2 rad/s예요. 이처럼 라우스 판별법으로는 합격, 불합격을 가리는 데서 그치지 않고 경계 이득과 그때의 진동 주파수까지 손으로 구할 수 있다. 그래서 제어 설계에서 안전한 이득의 상한을 잡거나 어떤 매개변수가 어디까지 변해도 안정한지를 따질 때 곧바로 쓰이며, 극을 옮겨 원하는 응답을 만드는 근궤적과 보드 선도로 자연스럽게 이어진다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서는 K/(s(s + 1)(s + 2))에 이득 K로 피드백을 건 닫힌 루프의 특성방정식 s³ + 3s² + 2s + K를, 극을 풀지 않고 계수만으로 판정했다. 라우스 표 첫 열 1, 3, (6 − K)/3, K에서 부호가 바뀌는 횟수가 우반면 극의 수였어요. K를 키우자 (6 − K)/3가 음수로 바뀌며 부호 변화가 두 번 생겼고, 바로 그때 s 평면의 복소 극 한 쌍이 허수축을 넘어 우반면으로 들어갔다. 경계는 K = 6이었고, 그때 극은 s = ±j√2에 있었다. 고차 방정식의 근을 일일이 풀지 않고도 계수의 조합 하나로 안정 여부와 그 경계를 손에 쥔 셈이다.

안정 = 모든 극이 좌반면(D2 유닛). 라우스–후르비츠 판별법은 극을 풀지 않고 특성방정식의 계수만으로 이를 판정한다. 필요조건은 모든 계수가 빠짐없이 있고 부호가 같은 것이다. 계수로 라우스 표를 세우면 첫 열의 부호 변화 수 = 우반면 극의 수이고(변화가 없으면 안정), 첫 열의 한 칸이 0이 되는 지점이 경계이며 그때의 진동 주파수는 보조 방정식을 풀어 얻는다. 예를 들어 s³ + 3s² + 2s + K는 첫 열의 (6 − K)/3 때문에 0 < K < 6이어야 안정하고, K = 6에서 극이 s = ±j√2에 놓여요. 제어 설계에서 안전한 이득의 한계를 손으로 잡는 도구다.

다음 유닛으로

라우스로 어떤 이득에서 안정한지 아닌지는 가렸지만, 이득을 0부터 키우는 동안 극이 s 평면에서 어떤 길을 그리며 움직이는지는 아직 보지 못했다. 다음 유닛 근궤적에서는 바로 그 길을 그린다. 이득 K가 변할 때 닫힌 루프 극이 열린 루프 극에서 출발해 열린 루프 영점(영점이 없으면 무한대)으로 향하는 자취를 따라가면, 어디서 허수축을 건너 불안정해지는지, 어떤 K에서 원하는 감쇠비를 얻는지를 한눈에 알 수 있어요. 방금 라우스로 구한 경계 K = 6이 바로 근궤적이 허수축과 만나는 점이다.