SC · 라플라스

라플라스 변환

라플라스 변환은 푸리에 변환에 수렴 인자 e^(−σt)를 곱해, 주파수 jω를 복소수 s = σ + jω로 넓힌 것이다. 그 σ가 커지는 신호를 잦아들게 하므로 푸리에가 다루지 못하던 신호도 변환된다는 것을 직접 확인해요.

가중 신호가 잦아드는가

위 그림의 흐린 점선은 커지는 신호 e^(at)(a = 1)이고, 파란 곡선은 거기에 수렴 인자 e^(−σt)를 곱한 가중 신호다. 아래 그림은 그 가중 신호를 0부터 쌓은 누적 적분이에요. σ를 키워 커지던 신호가 0으로 잦아들고 적분이 천장에 닿아 멈추면, 그때 라플라스 변환이 존재한다.

커지는 신호 e^(at)가중 e^((a−σ)t)

누적 적분

수렴 인자 σ0.50

변환과 수렴 영역

X(s) = 1/(s − 1)   ROC: Re(s) > 1  · ∞

σ가 성장률 a = 1보다 작아 가중 신호 e^((a−σ)t)가 여전히 커진다. 적분이 발산하니 변환이 존재하지 않고, 푸리에(σ = 0)가 실패하는 곳도 바로 여기예요.

발산

푸리에에 수렴 인자를 곱하다

푸리에 변환은 신호에 e^(−jωt)를 곱해 적분했고, 라플라스 변환은 거기에 실수 지수 e^(−σt)를 한 겹 더 곱한다. 두 인자를 합치면 e^(−st)이고, 여기서 s = σ + jω가 복소 주파수예요. jω 부분은 여전히 진동을 골라내지만, σ > 0이면 e^(−σt)가 시간이 갈수록 작아지므로 σ 부분이 신호를 억지로 잦아들게 한다. 그래서 끝없이 커져 푸리에 적분이 발산하던 신호도 σ를 충분히 키우면 적분이 수렴해 변환을 가진다.

관찰X(s) = ∫ x(t) e^−st dt

변환은 e^−st를 곱해 적분.

고르기s = ?

복소 주파수 s = σ + jω.

빈칸e^atu(t): ROC Re(s) ?

e^atu(t)는 Re(s) > a에서 수렴.

스스로σ = 0: s = ? (푸리에)

σ = 0이면 라플라스는 푸리에.

수렴 영역(ROC)

라플라스 적분이 모든 σ에서 수렴하지는 않는다. 커지는 신호 e^(at)u(t)라면 가중 신호가 e^((a−σ)t)이라서 σ > a일 때만 0으로 잦아들어 적분이 수렴하고, 이렇게 적분이 수렴하는 σ의 범위를 수렴 영역, 곧 ROC라 불러요. 이 신호의 변환은 X(s) = 1/(s − a)이고 ROC는 Re(s) > a다. 같은 수식이라도 ROC가 다르면 다른 신호를 뜻하므로, 라플라스 변환은 X(s)와 ROC가 한 쌍이어야 완전하다.

푸리에는 라플라스의 한 단면

s = σ + jω는 평면 위의 점이다. σ를 0으로 두면 s = jω, 곧 세로 허수축이고 거기서 라플라스 변환은 정확히 푸리에 변환이 되는데, 단 그 허수축이 ROC 안에 있을 때만 그래요. 그래서 푸리에는 라플라스가 보는 s 평면 전체 가운데 허수축 한 줄을 잘라 본 단면이다. σ를 자유롭게 고를 수 있다는 점 덕분에 라플라스는 과도 응답과 안정성을 다룰 수 있고, 다음 유닛에서는 이 s 평면 위에 극과 영점을 찍어 시스템을 읽는다.

첫 화면으로 돌아가서

σ가 작을 때는 가중 신호가 여전히 커졌고 적분은 발산했는데, 바로 그 자리가 푸리에 변환이 실패하는 곳이에요. σ를 성장률 a 너머로 키우자 e^((a−σ)t)가 0으로 잦아들었고, 적분이 천장 1/(σ − a)에 자리 잡으며 라플라스 변환이 존재하기 시작했다. 라플라스가 푸리에에 더한 것은 바로 이 고를 수 있는 σ, 곧 수렴을 강제하는 실수 지수다. 그 σ가 만드는 수렴의 범위가 ROC이고, 변환은 X(s)와 ROC가 한 쌍이다.

라플라스 변환 X(s) = ∫₀^∞ x(t) e^−st dt는 복소 주파수 s = σ + jω를 쓴다. 인자 e^−st = e^−σt e^−jωt 가운데 e^−σt가 수렴 인자로, 커지는 신호를 잦아들게 해 푸리에가 다루지 못하던 신호도 변환한다. 적분이 수렴하는 σ의 범위가 수렴 영역(ROC)이며, e^atu(t)는 X(s) = 1/(s − a), ROC: Re(s) > a다. σ = 0(s = jω)이고 허수축이 ROC 안에 있으면 라플라스는 푸리에로 돌아간다.

다음 유닛으로

s가 평면 위의 점이라면, 변환 X(s)가 무한대가 되는 점과 0이 되는 점에 그 시스템의 성격이 거의 다 담겨 있다. 다음 유닛 s 평면과 극 · 영점에서는 X(s) = 1/(s − a)의 분모를 0으로 만드는 극 s = a를 평면에 찍어요. 극이 허수축 왼쪽(Re < 0)에 있으면 잦아드는 응답, 오른쪽에 있으면 발산하는 응답이고, B4에서 본 a < 0 안정 조건이 바로 이 극의 위치로 다시 나타난다. 평면 위 점 몇 개로 시스템을 읽는 법이 거기서 열린다.