SC · 라플라스

라플라스 변환

라플라스 변환은 푸리에 변환에 수렴 인자 e^(−σt) 를 더해 주파수 jω 를 복소수 s = σ + jω 로 넓힌 것이다. 그 σ 가 커지는 신호를 잦아들게 만들어, 푸리에가 못 다루던 신호도 변환됨을 직접 본다.

가중 신호가 잦아드는가

위는 커지는 신호 e^(at)(흐림)와, 거기에 수렴 인자 e^(−σt) 를 곱한 가중 신호(진함)다. 아래는 그 가중 신호를 누적한 적분이다. σ 를 키워, 커지던 신호가 0 으로 잦아들고 적분이 천장에 수렴하게 만들어라. 그때 라플라스 변환이 존재한다.

커지는 신호 e^(at)가중 e^((a−σ)t)

누적 적분

수렴 인자 σ0.50

변환과 수렴 영역

X(s) = 1/(s − 1)   ROC: Re(s) > 1  · ∞

σ 가 성장률 a 보다 작아 가중 신호 e^((a−σ)t) 가 여전히 커진다. 적분이 발산해 변환이 존재하지 않는다. 이것이 푸리에(σ=0)가 실패하는 영역이다.

발산

푸리에에 수렴 인자를 더하다

푸리에 변환은 신호에 e^(−jωt) 를 곱해 적분했다. 라플라스 변환은 거기에 실수 지수 e^(−σt) 를 한 겹 더 곱한다. 두 인자를 합치면 e^(−st), 여기서 s = σ + jω 는 복소 주파수다. jω 부분은 여전히 진동을 고르지만, σ 부분은 시간이 갈수록 커지는 e^(−σt) 의 반대로 작용해 신호를 강제로 잦아들게 한다. 그래서 끝없이 커져 푸리에 적분이 발산하던 신호도, σ 를 충분히 키우면 적분이 수렴해 변환을 가진다.

관찰X(s) = ∫ x(t) e^−st dt

변환은 e^−st 를 곱해 적분.

고르기s = ?

복소 주파수 s = σ + jω.

빈칸e^atu(t): ROC Re(s) ?

e^atu(t) 는 Re(s) > a 에서 수렴.

스스로σ = 0: s = ? (Fourier)

σ=0 이면 라플라스는 푸리에.

수렴 영역(ROC)

라플라스 적분은 모든 σ 에서 수렴하지는 않는다. 커지는 신호 e^(at)u(t) 라면 가중 신호가 e^((a−σ)t) 이라, σ > a 일 때만 0 으로 잦아들어 적분이 수렴한다. 이렇게 적분이 수렴하는 σ 의 범위를 수렴 영역, ROC 라 부른다. 이 신호의 변환은 X(s) = 1/(s−a) 이고 ROC 는 Re(s) > a 다. 같은 수식이라도 ROC 가 다르면 다른 신호를 뜻하므로, 라플라스 변환은 X(s) 와 ROC 가 한 쌍이어야 완전하다.

푸리에는 라플라스의 한 단면

s = σ + jω 는 평면 위의 점이다. σ 를 0 으로 두면 s = jω, 곧 세로 허수축이고, 거기서 라플라스 변환은 정확히 푸리에 변환이 된다. 단, 그 허수축이 ROC 안에 있을 때만 그렇다. 그래서 푸리에는 라플라스가 보는 s 평면 전체 중 허수축 한 줄을 본 단면이다. σ 를 자유롭게 고를 수 있다는 점이 라플라스에 과도 응답과 안정성을 다룰 힘을 준다. 다음 유닛에서는 이 s 평면 위에 극과 영점을 찍어 시스템을 읽는다.

첫 화면으로 돌아가서

σ 가 작을 때 가중 신호는 여전히 커졌고 적분은 발산했다. 바로 그 자리가 푸리에 변환이 실패하는 곳이다. σ 를 성장률 a 너머로 키우자 e^((a−σ)t) 가 0 으로 잦아들었고, 적분이 천장 1/(σ−a) 에 정착하며 라플라스 변환이 존재하기 시작했다. 라플라스가 푸리에에 더한 것은 바로 이 고를 수 있는 σ, 곧 수렴을 강제하는 실수 지수다. 그 σ 가 만드는 수렴의 범위가 ROC 이고, 변환은 X(s) 와 ROC 가 한 쌍이다.

라플라스 변환 X(s) = ∫₀^∞ x(t) e^−st dt 는 복소 주파수 s = σ + jω 를 쓴다. 인자 e^−st = e^−σt e^−jωt 의 e^−σt 가 수렴 인자로, 커지는 신호를 잦아들게 해 푸리에가 못 다루던 신호도 변환한다. 적분이 수렴하는 σ 범위가 수렴 영역(ROC)이다. e^atu(t) 는 X(s) = 1/(s−a), ROC: Re(s) > a. σ=0(s=jω)이고 허수축이 ROC 안이면 라플라스는 푸리에로 환원된다.

다음 유닛으로

s 가 평면 위의 점이라면, 변환 X(s) 가 무한대가 되는 점과 0 이 되는 점이 그 시스템의 성격을 거의 다 말해 준다. 다음 유닛 s 평면과 극·영점에서는 X(s) = 1/(s−a) 의 분모를 0 으로 만드는 극 s=a 를 평면에 찍는다. 극이 허수축 왼쪽(Re<0)에 있으면 잦아드는 응답, 오른쪽이면 발산하는 응답이다. B4 에서 본 a<0 안정 조건이 바로 이 극의 위치로 다시 나타난다. 평면 위 점 몇 개로 시스템을 읽는 법이 거기서 열린다.