샘플링 정리

표본을 충분히 떠 신호를 되살리기

위 그림의 금색 곡선은 주파수 f0 = 1인 사인 신호이고, 밝은 점은 일정한 간격으로 뜬 표본이다. 처음 표본 속도는 fs = 1.4라 신호 주파수의 두 배(나이퀴스트 속도 2)보다 느리고, 그래서 같은 점들을 지나는 더 낮은 주파수의 빨간 점선, 곧 가짜 파형이 함께 그려져요. 표본만 보고는 둘을 구별할 수 없으니 원래 신호를 잃은 셈이다. 아래 그림은 같은 상황을 주파수 축에서 본 것으로, 금색 삼각형이 원래 스펙트럼, 흐린 삼각형이 fs마다 생긴 복제본, 금색 점선이 접는 주파수 ±fs/2다. fs를 2 위로 올리면 빨간 가짜와 붉은 겹침 음영이 함께 사라진다.

두 배보다 빠르게 떠야 한다

샘플링 정리의 내용은 이렇다. 어떤 신호의 주파수 성분이 모두 fmax 아래에 있으면(대역 제한), 표본 속도 fs가 2·fmax보다 빠를 때 그 표본만으로 원래 연속 신호를 오차 없이 되살릴 수 있다. 이 2·fmax를 나이퀴스트 속도라고 불러요. 직관은 간단하다. 한 번 출렁이는 동안 마루와 골을 각각 한 번씩은 잡아야 하므로, 한 주기에 두 점보다 많이 찍어야 표본이 그 진동을 따라갈 수 있다. 그보다 성기게 찍으면 빠른 진동이 표본과 표본 사이로 빠져나가 버린다.

느리면 주파수가 접힌다

표본화하면 신호의 스펙트럼이 표본 속도 fs의 정수배마다 똑같이 복제된다. 원래 성분이 −fmax에서 fmax까지 있다면, ±fs, ±2fs를 중심으로 같은 모양의 복제본이 줄지어 생겨요. fs가 2·fmax보다 크면 복제본 사이에 빈틈이 있어 원래 성분만 깨끗이 골라낼 수 있지만, fs가 2·fmax보다 작아지면 이웃한 복제본이 원래 성분과 겹친다. 이때 fs/2(접는 주파수)보다 높은 성분은 그 아래로 접혀 들어오고, fs가 fmax와 2·fmax 사이라면 fmax의 진동이 |fmax − fs|라는 낮은 주파수로 둔갑한다. 이것이 에일리어싱이고, 첫 화면의 빨간 가짜가 바로 이 접힌 주파수이며 아래 그림의 붉은 음영이 복제본이 겹친 자리다.

복원과 안티에일리어싱 필터

나이퀴스트 조건을 지켜 표본을 떴다면, 복원은 각 표본을 sinc 모양으로 펼쳐 모두 더하는 것으로 끝난다. 이는 차단 주파수가 fs/2인 이상적인 저역통과 필터로 fs/2 위의 복제본을 잘라 내고 원래 대역만 남기는 일과 같아요. 문제는 실제 신호가 완벽하게 대역 제한되어 있지 않거나 잡음이 섞여 fs/2 위에도 성분이 있을 때다. 그대로 표본화하면 그 높은 성분이 접혀 들어와 신호를 되돌릴 수 없게 오염시킨다. 그래서 표본을 뜨기 전에 fs/2 위를 미리 깎아 내는 안티에일리어싱 필터를 두며, 에일리어싱은 한번 접히고 나면 표본 뒤에서는 지울 수 없으므로 막는 일은 언제나 표본화 앞에서 해야 한다.

첫 화면으로 돌아가서

표본 속도 fs를 느리게 두면 한 주기에 표본이 두 개도 찍히지 않아, 같은 점들을 지나는 빨간 가짜 파형이 나타났다. 표본만 보고는 원래 신호와 가짜를 구별할 수 없었어요. fs를 신호 주파수의 두 배 위로 올리자 한 주기에 표본이 둘보다 많아졌고, 주파수 축의 복제본들이 떨어지면서 빨간 가짜도 사라졌다. 표본을 지나는 대역 제한 신호가 원래 신호 하나로 정해진 것이다. 표본 속도가 신호의 최고 주파수의 두 배를 넘느냐가 신호를 잃느냐 되살리느냐를 갈랐다.

표본 속도가 모자라면 높은 주파수가 낮은 주파수로 접혀 들어온다는 것을 보았다. 다음 유닛 에일리어싱에서는 이 접힘을 더 깊이 들여다본다. 영상 속 바퀴가 거꾸로 도는 것처럼 보이는 현상, 디지털 사진의 물결무늬, 소리의 음정이 어긋나는 현상이 모두 같은 접힘의 다른 얼굴이에요. 접는 주파수 fs/2를 거울로 삼아 주파수가 어떻게 튕겨 들어오는지, 그리고 안티에일리어싱 필터가 그 거울 앞에서 무슨 일을 하는지를 다룬다.