샘플링 정리

표본을 충분히 떠 신호를 되살리기

금색은 연속 신호이고, 밝은 점은 일정 간격으로 뜬 표본이다. 표본 속도 fs 가 신호 주파수의 두 배(나이퀴스트)보다 느리면, 똑같은 점들을 지나는 더 낮은 주파수의 빨간 가짜 파형이 나타난다. 표본만 보고는 둘을 구별할 수 없으니 원래 신호를 잃은 것이다. fs 를 올려 표본을 촘촘히 떠서 빨간 가짜를 사라지게 하라. 아래는 주파수 축에서 본 같은 이야기다.

두 배보다 빠르게 떠야 한다

샘플링 정리는 말한다. 어떤 신호의 주파수 성분이 모두 fmax 아래에 있으면(대역 제한), 표본 속도 fs 가 2·fmax 보다 빠를 때 그 표본만으로 원래 연속 신호를 오차 없이 복원할 수 있다. 2·fmax 를 나이퀴스트 속도라 한다. 직관은 간단하다. 한 번 출렁이는 동안 마루와 골을 적어도 한 번씩, 곧 한 주기에 최소 두 점은 찍어야 표본이 그 진동을 따라잡는다. 두 점도 안 되면 빠른 진동이 표본 사이에서 슬쩍 지나가 버린다.

느리면 주파수가 접힌다

표본을 뜨면 신호의 스펙트럼이 표본 속도 fs 의 정수배마다 똑같이 복제된다. 원래 성분이 ±fmax 에 있다면 ±fs, ±2fs 를 중심으로 한 복제본들이 줄지어 생긴다. fs 가 2·fmax 보다 크면 복제본들 사이에 빈틈이 있어 원래 성분을 깨끗이 골라낼 수 있다. 그런데 fs 가 2·fmax 보다 작아지면 이웃한 복제본이 원래 성분과 겹친다. 이때 fs/2(접는 주파수)보다 높은 성분은 그 아래로 접혀 들어와, fmax 의 진동이 |fmax − fs| 같은 낮은 주파수로 둔갑한다. 이것이 에일리어싱이고, 첫 화면의 빨간 가짜가 바로 이 접힌 주파수다.

복원과 반엘리어싱 필터

나이퀴스트 조건을 지켜 표본을 떴다면, 복원은 각 표본을 sinc 모양으로 펼쳐 모두 더하는 것으로 끝난다. 이상적인 저역통과 필터가 fs/2 위의 복제본을 잘라내고 원래 대역만 남기는 일과 같다. 문제는 실제 신호가 완벽히 대역 제한이 아니거나 잡음이 섞여 fs/2 위에도 성분이 있을 때다. 그대로 표본하면 그 높은 성분이 접혀 들어와 신호를 영구히 오염시킨다. 그래서 표본을 뜨기 전에 fs/2 위를 미리 깎아 내는 반엘리어싱 필터를 둔다. 한번 접힌 에일리어싱은 표본 뒤에는 되돌릴 수 없으니, 막는 것은 언제나 표본 이전이어야 한다.

첫 화면으로 돌아가서

표본 속도 fs 를 느리게 두면 한 주기에 표본이 두 개도 안 찍혀, 같은 점들을 지나는 빨간 가짜 파형이 나타났다. 표본만 보고는 원래 신호와 가짜를 구별할 수 없었다. fs 를 신호 주파수의 두 배 위로 올리자 한 주기에 표본이 둘보다 많아지고, 주파수 축의 복제본들이 떨어져 빨간 가짜가 사라졌다. 표본을 지나는 대역 제한 신호가 원래 신호 하나로 정해진 것이다. 표본 속도가 신호의 최고 주파수의 두 배를 넘느냐가, 신호를 잃느냐 되살리느냐를 갈랐다.

표본 속도가 부족하면 높은 주파수가 낮은 주파수로 접혀 든다는 것을 보았다. 다음 유닛 에일리어싱에서는 이 접힘을 더 깊이 들여다본다. 바퀴가 거꾸로 도는 것처럼 보이는 영상, 디지털 사진의 물결무늬, 소리의 음정이 어긋나는 현상이 모두 같은 접힘의 다른 얼굴이다. 접는 주파수 fs/2 를 거울로 삼아 주파수가 어떻게 튕겨 들어오는지, 그리고 반엘리어싱 필터가 그 거울 앞에서 무엇을 하는지를 본다.