SC · 신호 기초

신호의 짝·홀 분해

어떤 신호든 좌우 대칭인 짝 부분과 원점 대칭인 홀 부분의 합으로 단 한 가지 방식으로 나뉜다. 신호를 자기 반전과 겹쳐 이 둘을 끄집어내고, 덤으로 신호의 크기를 에너지와 전력으로 재는 법도 익혀요.

짝과 홀을 합쳐 원본 복원하기

금색 점선이 원본 신호 x(t)로, 가운데가 솟은 종 모양이 오른쪽으로 기울어 있다. 탭으로 조각을 바꿔 보면 좌우 대칭인 짝 부분(파랑)만으로는 이 기울기를 담지 못하고, 홀 부분(초록)까지 더해야 원본이 정확히 되살아나요.

탭을 누르면 조각이 바뀌어요.

고른 조각과 식

xₑ = [x(t) + x(−t)] / 2

짝 부분은 신호를 자기 반전과 평균 낸 것이라 좌우 대칭이다. 원본이 기운 정도를 담지 못해 절반만 맞아요.

절반

신호를 자기 반전과 겹치기

짝(우)함수는 x(−t) = x(t)를 만족해 세로축에 대해 거울처럼 대칭이고, 홀(기)함수는 x(−t) = −x(t)를 만족해 원점에 대해 점대칭이다. 아무 신호나 자기 반전 x(−t)와 더해 반으로 나누면 대칭 성분만 남고, 빼서 반으로 나누면 반대칭 성분만 남아요. 그림의 원본은 종 모양 g(t)에 (1 + 0.8t)를 곱한 것이라, 짝 부분이 g(t), 홀 부분이 0.8t·g(t)이다.

관찰xₑ = [x(t) + x(−t)] / 2

짝은 반전과 더해 반으로 나눈 것.

고르기xₒ = [x(t) ?] / 2

홀은 반전을 빼서 반으로 나눈 것.

빈칸x(t) = xₑ ? xₒ

짝과 홀을 더하면 원본.

스스로E = ?

총에너지는 |x|²의 적분.

짝 더하기 홀은 언제나 원본

두 식을 더하면 [x(t) + x(−t)]/2 + [x(t) − x(−t)]/2 = x(t)로 반전 항이 지워져, 원본이 정확히 돌아온다. 그래서 모든 신호는 짝 부분과 홀 부분의 합으로 단 한 가지 방식으로 쓰여요. 이 분해를 쓰면 계산이 자주 짧아지는데, 홀 함수를 −T에서 T까지 대칭 구간으로 적분하면 0이 되기 때문이다.

크기로 가르기: 에너지냐 전력이냐

신호의 크기는 두 잣대로 잰다. 총에너지 E = ∫|x(t)|² dt가 유한하면 에너지 신호이고, 이때 평균 전력은 0이다. 곁들인 작은 그림의 금색처럼 펄스가 사라지는 신호가 여기 속하며, 그 면적 ∫e^(−t²) dt = √π ≈ 1.77이 곧 에너지예요. 반대로 파란 곡선 같은 주기 신호는 끝없이 이어져 E = ∞이지만 평균 전력 P가 유한해 전력 신호라 부른다. 파란 곡선은 cos²(2.5t)라서 그 평균 높이 0.5가 바로 P다. 한 신호가 둘 다일 수는 없고, 계속 커지는 경사 t처럼 둘 다 아닌 신호도 있다.

첫 화면으로 돌아가서

짝 부분만으로는 좌우 대칭이라 기울어진 원본을 절반밖에 맞추지 못했어요. 홀 부분을 더하자 반전 항이 지워지며 금색 점선 원본이 정확히 되살아났다. 모든 신호는 이렇게 대칭(짝)과 반대칭(홀)이라는 두 독립 조각으로 단 한 가지 방식으로 갈린다. 한편 신호의 크기는 사라지면 에너지로, 이어지면 전력으로 재니, 대칭은 모양을, 에너지와 전력은 크기를 재는 서로 다른 잣대다.

어떤 신호든 짝 부분 xₑ(t) = [x(t) + x(−t)]/2와 홀 부분 xₒ(t) = [x(t) − x(−t)]/2의 합으로 단 한 가지 방식으로 갈린다. 짝은 x(−t) = x(t)(거울 대칭), 홀은 x(−t) = −x(t)(점대칭)이다. 신호의 크기는 총에너지 E = ∫|x(t)|² dt와 평균 전력으로 재며, E가 유한하면 에너지 신호(P = 0), E = ∞이지만 P가 유한하면 전력 신호다.

다음 유닛으로

대칭은 앞으로 계산을 줄이는 지렛대가 된다. 푸리에 변환에서 실수 짝 신호는 실수 스펙트럼을, 실수 홀 신호는 순허수 스펙트럼을 가져 스펙트럼의 대칭이 정해져요. 에너지와 전력의 구분은 시간과 주파수에서 같은 크기를 재는 파스발 정리로 이어지고, 전력 스펙트럼의 토대가 된다. 다음 유닛 시스템의 성질에서는 신호가 아니라 신호를 바꾸는 시스템을 선형 · 시불변 · 인과로 가른다.