SC · 신호 기초

신호의 짝·홀 분해

어떤 신호든 좌우 대칭인 짝 부분과 점대칭인 홀 부분의 합으로 유일하게 갈린다. 신호를 자기 반전과 겹쳐 이 둘을 끄집어내고, 덤으로 신호의 크기를 에너지와 전력으로 가르는 법을 익힌다.

짝과 홀을 합쳐 원본 복원하기

금색 점선이 원본 신호 x(t)다. 좌우 대칭인 짝 부분만으로는 절반밖에 못 맞춘다. 짝과 홀 두 조각을 모두 더해야 원본이 정확히 되살아난다.

탭으로 조각 전환.

선택한 조각과 식

xₑ = [x(t) + x(−t)] / 2

짝 부분은 신호를 자기 반전과 평균 낸 것이라 좌우 대칭이다. 원본의 기울기를 담지 못해 절반만 맞는다.

절반

신호를 자기 반전과 겹치기

짝(우)함수는 x(−t) = x(t)로 세로축에 대해 거울 대칭이다. 홀(기)함수는 x(−t) = −x(t)로 원점에 대해 점대칭이다. 임의의 신호를 자기 반전 x(−t)와 더해 반으로 나누면 대칭 성분만, 빼서 반으로 나누면 반대칭 성분만 남는다.

관찰xₑ = [x(t) + x(−t)] / 2

짝은 반전과 더해 반으로 나눈 것.

고르기xₒ = [x(t) ?] / 2

홀은 반전을 빼서 반으로 나눈 것.

빈칸x(t) = xₑ ? xₒ

짝과 홀을 더하면 원본.

스스로E = ?

총에너지는 |x|²의 적분.

짝 더하기 홀은 언제나 원본

두 식을 더하면 [x(t)+x(−t)]/2 + [x(t)−x(−t)]/2 = x(t)로, 반전 항이 상쇄되어 원본이 정확히 돌아온다. 그래서 모든 신호는 짝 부분과 홀 부분의 합으로 유일하게 쓰인다. 이 분해는 적분이 대칭을 만나면 절반이 0 이 되는 등 계산을 자주 단순하게 만든다.

크기로 가르기: 에너지냐 전력이냐

신호의 크기는 두 잣대로 잰다. 총에너지 E = ∫|x(t)|² dt 가 유한하면 에너지 신호이고, 이때 평균 전력은 0 이다. 펄스처럼 사라지는 신호가 여기 속한다. 반대로 주기 신호처럼 영원히 지속되는 신호는 E = ∞ 지만 평균 전력 P 가 유한해 전력 신호라 부른다. 한 신호가 둘 다일 수는 없다.

첫 화면으로 돌아가서

짝 부분만으로는 좌우 대칭이라 기울어진 원본을 절반밖에 못 맞췄다. 홀 부분을 더하자 반전 항이 상쇄되며 금색 점선 원본이 정확히 되살아났다. 모든 신호는 이렇게 대칭(짝)과 반대칭(홀)이라는 두 독립 조각으로 유일하게 갈린다. 그리고 신호의 크기는 사라지면 에너지, 지속되면 전력으로 가른다. 대칭은 모양을, 에너지·전력은 크기를 재는 서로 다른 잣대다.

어떤 신호든 짝 부분 xₑ(t) = [x(t) + x(−t)]/2 와 홀 부분 xₒ(t) = [x(t) − x(−t)]/2 의 합으로 유일하게 갈린다. 짝은 x(−t) = x(t)(거울 대칭), 홀은 x(−t) = −x(t)(점대칭). 신호의 크기는 총에너지 E = ∫|x(t)|² dt 와 평균 전력 으로 잰다. E 가 유한하면 에너지 신호(P = 0), E = ∞ 지만 P 가 유한하면 전력 신호다.

다음 유닛으로

대칭은 앞으로 계산을 줄이는 지렛대가 된다. 푸리에 변환에서 짝 신호는 코사인(실수), 홀 신호는 사인(허수)으로 갈려 스펙트럼의 대칭을 정한다. 에너지와 전력의 구분은 파스발 정리로 시간과 주파수에서 같은 크기를 재는 다리가 되고, 전력 스펙트럼의 토대가 된다. 다음 유닛 시스템의 성질에서는 신호가 아니라 신호를 바꾸는 시스템을 선형·시불변·인과로 가른다.