SC · 제어

이득여유와 위상여유

안정한 시스템이 불안정까지 얼마나 남았는지는 열린 루프 보드선도에서 두 여유로 읽는다. 위상여유는 이득이 0 dB 가 되는 주파수에서 위상이 −180° 까지 남은 각이고, 이득여유는 위상이 −180° 가 되는 주파수에서 이득이 0 dB 까지 남은 크기다. 이득 K 를 움직여 두 여유가 0 으로 줄며 시스템이 불안정해지는 것을 직접 본다.

두 여유로 불안정까지의 거리 재기

F1·F2 와 같은 열린 루프 L(s) = K/(s(s+1)(s+2)) 의 보드선도다. 위는 이득(dB), 아래는 위상(도), 가로축은 로그 주파수다. 위 그림에서 이득이 0 dB 선을 지나는 곳이 이득 교차 주파수이고, 그 주파수에서 아래 위상이 −180° 선까지 남은 각이 위상여유다. 아래에서 위상이 −180° 를 지나는 곳이 위상 교차 주파수이고(이 플랜트는 ω=√2 고정), 그 주파수에서 위 이득이 0 dB 까지 남은 크기가 이득여유다. K 를 키우면 이득 곡선이 위로 올라가 두 여유가 함께 줄고, K = 6 에서 둘 다 0 이 되어 불안정해진다.

이득 (dB), 가로축 로그 ω

위상 (도), 가로축 로그 ω

이득 K8.0

여유와 교차 주파수

K = 8.0 · PM = -8° · GM = -2.5 dB

gain xover ω = 1.63 · phase xover ω = 1.41

이득이 너무 커서 이득 교차 주파수가 위상 교차 주파수를 넘어섰다. 위상여유와 이득여유가 모두 음수, 곧 −1 점을 지나 버려 닫힌 루프가 불안정하다. 보드선도에서 이득 곡선이 −180° 지점에서 0 dB 위로 올라가 있다. K 를 6 아래로 낮춰야 한다.

여유 없음 (불안정 근처)

불안정까지 남은 거리

단위 피드백이 불안정해지는 문턱은 열린 루프 L(jω) 가 −1 이 되는 것, 곧 크기 1(0 dB)이면서 위상 −180° 가 동시에 일어나는 순간이다. 그때 1 + L = 0 이라 닫힌 루프 극이 허수축 위에 놓인다. 안정여유는 지금 이 −1 조건에서 얼마나 떨어져 있는지를 두 방향으로 잰 것이다. 위상여유는 크기가 막 1 이 되는 주파수에서 위상이 −180° 까지 얼마나 남았는지, 이득여유는 위상이 막 −180° 가 되는 주파수에서 크기가 1 까지 얼마나 남았는지다. 둘 다 양수면 −1 에 닿지 않았으니 안정, 0 이면 경계, 음수면 이미 −1 을 지나 불안정이다.

관찰phase margin = 180° + phase at the 0 dB freq

위상여유 = 0 dB 주파수에서 −180° 까지 남은 각.

고르기gain margin is read at the ?

이득여유 = −180° 주파수에서 0 dB 까지 남은 크기.

빈칸stable ⟺ both margins ?

두 여유가 양수면 안정.

스스로margins reach 0 at K = ?

이 플랜트는 K=6 에서 여유 0.

두 교차 주파수에서 읽는다

보드선도는 이 두 가지를 각각 다른 주파수에서 읽게 해 준다. 이득 곡선이 0 dB 를 지나는 주파수를 이득 교차 주파수라 한다. 그 주파수에서 위상 곡선을 읽어 −180° 와의 차이를 구하면 위상여유 = 180° + ∠L 이다. 반대로 위상 곡선이 −180° 를 지나는 주파수를 위상 교차 주파수라 한다(이 플랜트는 atan ω + atan(ω/2) = 90° 에서 ω = √2 로 고정). 그 주파수에서 이득 곡선을 읽으면 이득여유 = −20 log|L| dB 다. 이 예에서 위상 교차의 크기가 |L| = K/6 이라, 이득여유는 20 log(6/K) dB 다. K 가 커질수록 이득 곡선이 통째로 위로 올라가 이득 교차 주파수가 오른쪽으로 옮겨 가고, 거기서 위상이 더 떨어져 있어 위상여유가 줄어든다.

여유가 말해 주는 것

안정여유는 단순히 안정·불안정을 넘어, 실제 시스템이 얼마나 믿을 만한지를 말해 준다. 첫째는 강건성이다. 모델은 늘 부정확하고 부품 값은 변하며 센서에는 시간 지연이 있다. 위상여유는 닫힌 루프가 불안정해지기 전에 견딜 수 있는 추가 위상 지연의 양이고, 이득여유는 견딜 수 있는 추가 이득의 배수다. 여유가 얇으면 작은 오차에도 무너진다. 둘째는 응답의 모양이다. 위상여유는 2차 근사에서 감쇠비와 거의 비례해서, 위상여유 약 45°~60° 가 감쇠비 0.45~0.6 의 좋은 과도 응답에 해당한다. 그래서 보드선도에서 위상여유를 목표로 이득을 맞추는 것은 D5·F2 에서 감쇠비를 맞춘 것과 같은 일을 주파수 영역에서 하는 셈이다.

첫 화면으로 돌아가서

F1·F2 와 같은 열린 루프의 보드선도에서, 불안정까지 남은 거리를 두 여유로 읽었다. 이득 곡선이 0 dB 를 지나는 주파수에서 위상이 −180° 까지 남은 각이 위상여유, 위상이 −180° 를 지나는 주파수(ω=√2)에서 이득이 0 dB 까지 남은 크기가 이득여유였다. K 를 키우자 이득 곡선이 위로 올라가 두 여유가 함께 줄었고, K = 6 에서 둘 다 0 이 되어 불안정해졌다. 이 K = 6 은 F1 의 라우스, F2 의 근궤적 허수축 교차와 정확히 같은 경계다. 같은 시스템의 같은 한계를, 라우스는 계수로, 근궤적은 극의 길로, 보드선도는 주파수 응답의 여유로 본 것이다.

안정여유는 열린 루프 L(jω) 가 −1(0 dB·−180°)에 닿으면 불안정해진다는 사실에서, 지금 그 −1 에서 얼마나 떨어졌는지를 보드선도로 잰 것이다. 위상여유 = 180° + ∠L(이득 교차, |L|=0 dB 주파수에서), 이득여유 = −20 log|L| dB(위상 교차, ∠L=−180° 주파수에서). 둘 다 양수면 안정, 0 이면 경계, 음수면 불안정이다. 위상여유는 견딜 수 있는 추가 지연, 이득여유는 추가 이득의 여유라 강건성을 뜻하고, 위상여유 ≈ 45°~60° 가 감쇠비 0.45~0.6 의 좋은 과도 응답에 대응한다(D5·F2 와 같은 설계의 주파수 영역판). 이 예의 한계 K = 6 은 F1 라우스·F2 근궤적과 같은 경계다.

다음 유닛으로

안정여유는 보드선도에서 −1 조건으로부터의 거리를 두 방향으로 쟀다. 그런데 −1 은 복소평면의 한 점이니, 차라리 L(jω) 자체를 복소평면에 그려 그 점과의 관계를 직접 보면 어떨까. 다음 유닛 나이퀴스트 선도에서는 주파수 ω 를 0 에서 무한대까지 쓸며 L(jω) 가 그리는 곡선을 그린다. 그 곡선이 −1 점을 몇 번 감싸는지를 세는 나이퀴스트 판정법은, 열린 루프가 이미 불안정한 경우까지 포함해 닫힌 루프 안정성을 완전하게 가린다. 위상여유와 이득여유는 그 곡선이 −1 에 얼마나 가까이 지나는지로 거기서 다시 나타난다.