SC · 제어

이득여유와 위상여유

안정한 시스템이 불안정까지 얼마나 남았는지는 열린 루프 보드 선도에서 두 가지 여유로 읽는다. 위상여유는 이득이 0 dB가 되는 주파수에서 위상이 −180°까지 남은 각이고, 이득여유는 위상이 −180°가 되는 주파수에서 이득이 0 dB까지 남은 크기다. 이득 K를 움직이며 두 여유가 0으로 줄어들고 시스템이 불안정해지는 과정을 이 강에서 확인해요.

두 여유로 불안정까지의 거리 재기

F1, F2 유닛과 같은 열린 루프 L(s) = K/(s(s + 1)(s + 2))의 보드 선도다. 위는 이득(dB), 아래는 위상(도)이고 가로축은 로그 주파수예요. 위 그림에서 금색 곡선이 0 dB 점선을 지나는 금색 점이 이득 교차 주파수이고, 그 주파수에서 아래 위상 곡선이 −180° 점선까지 남은 각, 곧 아래 그림의 세로 막대가 위상여유다. 아래 위상이 −180°를 지나는 곳이 위상 교차 주파수로 이 플랜트에서는 ω = √2에 고정되며, 그 주파수에서 위 이득 곡선이 0 dB까지 남은 크기, 곧 위 그림의 세로 막대가 이득여유다. 막대는 여유가 양수면 초록, 음수면 빨강이다. 처음 K = 8에서는 두 막대가 모두 빨갛고(위상여유 약 −7.5°, 이득여유 약 −2.5 dB), K를 6 아래로 내리면 둘 다 초록으로 바뀌어요.

이득 (dB), 가로축 로그 ω

위상 (도), 가로축 로그 ω

이득 K8.0

여유와 교차 주파수

K = 8.0 · PM = -8° · GM = -2.5 dB

이득 교차 ω = 1.63 · 위상 교차 ω = 1.41

이득이 너무 커서 이득 교차 주파수가 위상 교차 주파수 √2를 넘어섰다. 위상여유와 이득여유가 모두 음수, 곧 L(jω)가 −1 점을 지나 버려 닫힌 루프가 불안정해요. 보드 선도에서는 위상이 −180°인 주파수에서 이득 곡선이 0 dB 위에 올라가 있으니, K를 6 아래로 낮춰야 한다.

여유 없음 (불안정 근처)

불안정까지 남은 거리

단위 피드백이 불안정해지는 문턱은 열린 루프 L(jω)가 −1이 되는 것, 곧 크기 1(0 dB)과 위상 −180°가 같은 주파수에서 동시에 일어나는 순간이다. 그때 1 + L = 0이 되어 닫힌 루프 극이 허수축 위에 놓인다. 안정여유는 지금 상태가 이 −1 조건에서 얼마나 떨어져 있는지를 두 방향으로 잰 것이에요. 위상여유는 크기가 막 1이 되는 주파수에서 위상이 −180°까지 얼마나 남았는지, 이득여유는 위상이 막 −180°가 되는 주파수에서 크기가 1까지 얼마나 남았는지를 잰다. 둘 다 양수면 −1에 닿지 않았으니 안정하고, 0이면 경계, 음수면 이미 −1을 지나 불안정하다(이 플랜트처럼 열린 루프가 안정한 시스템의 경우).

관찰위상여유 = 180° + 위상, 읽는 곳: 0 dB 주파수

위상여유는 0 dB 주파수에서 −180°까지 남은 각이다.

고르기이득여유를 읽는 곳: ?

이득여유는 −180° 주파수에서 0 dB까지 남은 크기다.

빈칸안정 ⟺ 두 여유 모두 ?

두 여유가 모두 양수면 안정하다.

스스로두 여유가 0 이 되는 이득 K = ?

이 플랜트는 K = 6에서 두 여유가 0이 된다.

두 교차 주파수에서 읽는다

보드 선도에서는 이 둘을 서로 다른 주파수에서 읽는다. 이득 곡선이 0 dB를 지나는 주파수를 이득 교차 주파수라 하고, 그 주파수에서 위상 곡선을 읽어 −180°와의 차이를 구하면 위상여유 = 180° + ∠L이다. 반대로 위상 곡선이 −180°를 지나는 주파수가 위상 교차 주파수인데, 이 플랜트에서는 atan ω + atan(ω/2) = 90°에서 ω = √2로 고정돼요. 그 주파수에서 이득 곡선을 읽으면 이득여유 = −20 log|L| dB이고, 이 예에서는 위상 교차에서의 크기가 |L| = K/6이라 이득여유는 20 log(6/K) dB다. K가 커질수록 이득 곡선이 통째로 위로 올라가 이득 교차 주파수가 오른쪽으로 옮겨 가고, 그곳에서는 위상이 더 많이 떨어져 있으므로 위상여유도 줄어든다.

여유로 알 수 있는 것

안정여유로는 안정과 불안정을 가르는 것을 넘어 실제 시스템을 얼마나 믿을 수 있는지까지 알 수 있다. 첫째는 강건성이다. 모델은 늘 조금씩 부정확하고, 부품 값은 변하며, 센서에는 시간 지연이 있어요. 위상여유는 닫힌 루프가 불안정해지기 전까지 견딜 수 있는 추가 위상 지연의 양이고, 이득여유는 견딜 수 있는 추가 이득의 배수라서, 여유가 얇으면 작은 오차에도 무너진다. 둘째는 응답의 모양이다. 이차 근사에서 위상여유는 감쇠비에 거의 비례해 위상여유 약 45° ~ 60°가 감쇠비 0.45 ~ 0.6의 좋은 과도 응답에 해당하며, 실제로 F2 유닛에서 ζ = 0.5로 고른 K ≈ 1.04에서는 위상여유가 약 52°, 이득여유가 약 15 dB다. 그러니 보드 선도에서 위상여유를 목표로 이득을 맞추는 일은 D5, F2 유닛에서 감쇠비를 맞춘 일을 주파수 영역에서 하는 셈이다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서는 F1, F2 유닛과 같은 열린 루프의 보드 선도에서 불안정까지 남은 거리를 두 여유로 읽었다. 이득 곡선이 0 dB를 지나는 주파수에서 위상이 −180°까지 남은 각이 위상여유, 위상이 −180°를 지나는 주파수(ω = √2)에서 이득이 0 dB까지 남은 크기가 이득여유였어요. K를 키우자 이득 곡선이 위로 올라가 두 여유가 함께 줄었고, K = 6에서 둘 다 0이 되어 불안정해졌다. 이 K = 6은 F1 유닛의 라우스, F2 유닛의 근궤적 허수축 교차와 정확히 같은 경계다. 같은 시스템의 같은 한계를 라우스는 계수로, 근궤적은 극의 길로, 보드 선도는 주파수 응답의 여유로 본 것이다.

안정여유는 열린 루프 L(jω)가 −1(0 dB이면서 −180°)에 닿으면 불안정해진다는 사실에서 출발해, 지금 그 −1에서 얼마나 떨어져 있는지를 보드 선도로 잰 것이다. 위상여유 = 180° + ∠L(이득 교차, 곧 |L| = 0 dB인 주파수에서), 이득여유 = −20 log|L| dB(위상 교차, 곧 ∠L = −180°인 주파수에서)이며, 둘 다 양수면 안정, 0이면 경계, 음수면 불안정이다. 위상여유는 견딜 수 있는 추가 지연, 이득여유는 추가 이득의 여유라서 강건성을 뜻하고, 위상여유 약 45° ~ 60°가 감쇠비 0.45 ~ 0.6의 좋은 과도 응답에 대응한다(D5, F2 유닛 설계의 주파수 영역판). 이 예의 한계 K = 6은 F1 유닛의 라우스, F2 유닛의 근궤적과 같은 경계예요.

다음 유닛으로

안정여유는 보드 선도 위에서 −1 조건까지의 거리를 두 방향으로 재었다. 그런데 −1은 복소평면의 한 점이니, L(jω) 자체를 복소평면에 그려 그 점과의 관계를 직접 볼 수도 있다. 다음 유닛 나이퀴스트 선도에서는 주파수 ω를 0에서 무한대까지 쓸며 L(jω)가 그리는 곡선을 그려요. 그 곡선이 −1 점을 몇 번 감싸는지 세는 나이퀴스트 판정법은 열린 루프가 이미 불안정한 경우까지 포함해 닫힌 루프의 안정성을 빠짐없이 가린다. 위상여유와 이득여유는 그 곡선이 −1에 얼마나 가까이 지나가는지로 다시 나타난다.