SC · 푸리에

푸리에 변환

주기 신호의 이산 스펙트럼에서 주기를 끝없이 늘리면 선들이 연속 스펙트럼으로 녹아드는데, 이것이 푸리에 변환이다. 사각 펄스를 좁힐수록 그 스펙트럼이 넓어지는 시간과 주파수의 역수 관계를 직접 확인해요.

펄스를 좁히면 스펙트럼이 넓어진다

위 그림은 폭이 T인 사각 펄스이고, 아래 그림은 그 푸리에 변환인 sinc 스펙트럼이다. 금색 점선이 맞춰야 할 목표 스펙트럼이고, 펄스 폭 T를 움직여 파란 sinc를 목표에 포개면 돼요. 시간에서 펄스를 좁히면 주파수에서 sinc가 넓어지며, 목표는 T = 1.4일 때의 모양이다.

사각 펄스 x(t)

스펙트럼 X(ω) = sinc목표 스펙트럼

펄스 폭 T2.60

펄스 폭과 첫 영점

T = 2.60   ω = 2π/T = 2.42

펄스 폭이 목표와 달라 sinc의 폭도 어긋난다. 시간 폭과 주파수 폭은 서로 역수라서, 펄스를 좁히면 스펙트럼이 넓어져요.

폭 어긋남

주기를 끝없이 늘리면

푸리에 급수의 고조파들은 ω₀ = 2π/T 간격으로 떨어져 있다. 주기 T를 키우면 이 간격이 좁아지고, T를 끝없이 늘려 신호가 한 번만 일어나는 비주기 신호가 되면 간격이 0으로 사라져요. 그러면 따로 서 있던 선들이 빈틈없는 연속 스펙트럼 X(ω)로 합쳐지고, 이산 합 Σ가 적분 ∫로 바뀌는 이 극한이 푸리에 변환이다.

관찰X(ω) = ∫ x(t) e^−jωt dt

분석은 e^−jωt를 곱해 적분.

고르기x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) ? dω

합성은 부호가 +jωt 인 역변환.

빈칸좁은 펄스 → ?

좁은 펄스는 넓은 스펙트럼.

스스로Δt · Δω ?

시간 폭 곱하기 주파수 폭은 대략 일정.

좁을수록 넓어진다

사각 펄스의 변환은 sinc 함수다. 펄스 폭이 T이면 sinc의 첫 영점이 ω = 2π/T에 오므로, 펄스를 좁힐수록(T가 작아질수록) 영점이 멀어지고 주된 봉우리가 넓어져요. 짧은 신호일수록 더 많은 주파수가 모여야 그 빠른 변화를 만들 수 있기 때문이다. 시간의 폭과 주파수의 폭은 곱이 대략 일정한 역수 관계이며, 이것이 신호의 불확정성 원리다. 그림은 봉우리를 1로 맞춰 폭만 견주게 했지만, 실제 변환의 봉우리 높이는 펄스 넓이 T와 같다.

변환과 역변환

분석은 시간 신호에서 주파수마다의 양을 재는 일로 X(ω) = ∫ x(t) e^(−jωt) dt이고, 합성은 그 주파수 성분들을 다시 모아 시간 신호를 짓는 일로 x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) e^(+jωt) dω예요. 지수의 부호만 다를 뿐 둘은 완전한 한 쌍이라서, 어느 영역에서 시작하든 반대쪽으로 건너갈 수 있다. 다음 유닛에서는 이 변환이 따르는 규칙들을 모아 계산 도구로 만든다.

첫 화면으로 돌아가서

펄스를 넓히면 sinc가 좁아지고 좁히면 sinc가 넓어졌으며, 두 폭의 곱은 대략 그대로였어요. 시간과 주파수가 역수로 묶여 있기 때문이고, 첫 영점은 늘 ω = 2π/T에 섰다. 한 번만 일어나는 비주기 신호는 고조파 몇 개가 아니라 모든 주파수에 걸친 연속 스펙트럼을 가진다. 그 연속 스펙트럼을 적분으로 읽고 쓰는 것이 푸리에 변환이고, 푸리에 급수의 주기를 끝없이 늘린 극한이다.

푸리에 변환 X(ω) = ∫ x(t) e^−jωt dt는 비주기 신호를 연속 스펙트럼으로 옮기고, 역변환은 x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) e^+jωt dω다. 이는 푸리에 급수의 주기 무한 극한으로, 고조파 선들이 연속체로 녹아든 것이다. 사각 펄스는 sinc로 변환되고, 폭 T인 펄스의 첫 영점은 ω = 2π/T다. 시간에서 좁히면 주파수에서 넓어진다(역수 · 불확정성, Δt·Δω ≳ 상수).

다음 유닛으로

변환을 매번 적분으로 구하는 것은 번거로워요. 다음 유닛 푸리에 변환 성질에서는 변환이 따르는 규칙들, 곧 선형성, 시간 이동이 위상에 미치는 영향, 시간 스케일이 주파수 스케일에 미치는 역수 효과, 그리고 무엇보다 시간 영역의 합성곱이 주파수 영역의 곱셈이 된다는 성질을 모은다. 이 성질 하나로 LTI 시스템의 출력 계산이 곱셈으로 간단해지니, B 장의 합성곱과 C 장의 주파수가 여기서 만난다.