SC · 푸리에

푸리에 변환

주기 신호의 이산 스펙트럼에서 주기를 무한히 늘리면 선들이 연속 스펙트럼으로 녹아든다. 그것이 푸리에 변환이다. 사각 펄스를 좁힐수록 그 스펙트럼이 넓어지는 시간·주파수의 역수 관계를 직접 본다.

펄스를 좁히면 스펙트럼이 넓어진다

위는 사각 펄스, 아래는 그 푸리에 변환인 sinc 스펙트럼이다. 점선은 맞춰야 할 목표 스펙트럼이다. 펄스 폭 T 를 움직여 파란 sinc 를 목표에 포개라. 시간에서 좁히면 주파수에서 넓어지는 것을 보라.

사각 펄스 x(t)

스펙트럼 X(ω) = sinc목표 스펙트럼

펄스 폭 T2.60

펄스 폭과 첫 영점

T = 2.60   ω₀ = 2π/T = 2.42

펄스 폭이 목표와 달라 sinc 의 폭도 어긋난다. 시간 폭과 주파수 폭은 서로 역수라, 펄스를 좁히면 스펙트럼이 넓어진다.

폭 어긋남

주기를 무한히 늘리면

푸리에 급수의 화음들은 간격 ω₀ = 2π/T 로 떨어져 있다. 주기 T 를 키우면 이 간격이 좁아지고, T 를 무한히 늘리면(신호가 한 번만 일어나는 비주기가 되면) 간격이 0 으로 사라진다. 그러면 따로 서 있던 선들이 빈틈없는 연속 스펙트럼 X(ω)로 합쳐진다. 이산 합 Σ 가 적분 ∫ 로 바뀌는 이 극한이 푸리에 변환이다.

관찰X(ω) = ∫ x(t) e^−jωt dt

분석은 e^−jωt 를 곱해 적분.

고르기x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) ? dω

합성은 부호가 +jωt 인 역변환.

빈칸narrow pulse → ?

좁은 펄스는 넓은 스펙트럼.

스스로Δt · Δω ?

시간 폭 곱하기 주파수 폭은 대략 일정.

좁을수록 넓어진다

사각 펄스의 변환은 sinc 함수다. 펄스 폭이 T 이면 sinc 의 첫 영점은 ω = 2π/T 에 온다. 그래서 펄스를 좁힐수록(T 작아짐) 영점이 멀어지고 주된 봉우리가 넓어진다. 짧은 신호일수록 더 많은 주파수가 모여야 그 빠른 변화를 만들 수 있기 때문이다. 시간의 폭과 주파수의 폭은 곱이 대략 일정한 역수 관계이며, 이것이 신호의 불확정성 원리다.

변환과 역변환

분석은 시간 신호에서 각 주파수의 양을 재는 일로, X(ω) = ∫ x(t) e^(−jωt) dt 다. 합성은 그 주파수 성분들을 다시 모아 시간 신호를 짓는 일로, x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) e^(+jωt) dω 다. 지수의 부호만 다를 뿐 둘은 완전한 한 쌍이라, 어느 영역에서든 시작해 반대로 건너갈 수 있다. 다음 유닛에서는 이 변환이 따르는 규칙들을 모아 계산 도구로 만든다.

첫 화면으로 돌아가서

펄스를 넓히면 sinc 가 좁아지고, 좁히면 sinc 가 넓어졌다. 두 폭의 곱은 대략 그대로였는데, 시간과 주파수가 역수로 묶여 있기 때문이다. 첫 영점은 늘 ω = 2π/T 에 섰다. 한 번만 일어나는 비주기 신호는 화음 몇 개가 아니라 모든 주파수에 걸친 연속 스펙트럼을 가진다. 그 연속 스펙트럼을 적분으로 읽고 쓰는 것이 푸리에 변환이고, 푸리에 급수의 주기 무한 극한이다.

푸리에 변환 X(ω) = ∫ x(t) e^−jωt dt 는 비주기 신호를 연속 스펙트럼으로 옮긴다. 역변환은 x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) e^+jωt dω 다. 이는 푸리에 급수의 주기 무한 극한으로, 화음 선들이 연속체로 녹는다. 사각 펄스는 sinc 로 변환되고, 폭 T 의 펄스는 첫 영점이 ω = 2π/T 다. 시간에서 좁히면 주파수에서 넓어진다(역수·불확정성, Δt·Δω ≳ 상수).

다음 유닛으로

변환 자체를 매번 적분으로 구하는 것은 번거롭다. 다음 유닛 푸리에 변환 성질에서는 변환이 따르는 규칙들을 모은다. 선형성, 시간 이동이 위상에 미치는 영향, 시간 스케일이 주파수 스케일에 미치는 역수 효과, 그리고 무엇보다 시간 영역의 합성곱이 주파수 영역의 곱셈이 된다는 성질이다. 이 성질 하나로 LTI 시스템의 출력 계산이 곱셈으로 간단해진다. B 장의 합성곱과 C 장의 주파수가 여기서 만난다.