SC · LTI·합성곱

합성곱 계산

합성곱을 손으로 구하려면 겹침이 바뀌는 한계점으로 시간을 구간으로 나누고, 각 구간에서 곱을 따로 적분한다. 사각 펄스 둘의 합성곱이 어떻게 삼각형이 되는지 구간별로 직접 확인한다.

구간이 바뀌면 식도 바뀐다

위는 고정 입력과 뒤집어 민 펄스, 그 곱의 초록 넓이다. 아래는 결과 삼각형이다. 슬라이드 위치 t 를 움직이면 활성 구간과 그 구간의 닫힌 식이 바뀐다. 한계점 t=0, 1, 2 에서 식이 어떻게 갈리는지 보라.

입력 펄스뒤집어 민 펄스

출력 y(t) = 삼각형

슬라이드 위치 t-0.40

t < 0

y = 0

0 ≤ t ≤ 1

y = t

1 ≤ t ≤ 2

y = 2 − t

t > 2

y = 0

활성 구간과 식

t < 0   y = 0  =  0.00

두 펄스가 안 겹친다. 적분 구간이 비어 있어 y(t) = 0 이다. t < 0 이거나 t > 2 인 바깥 구간이다.

겹침 없음

한계점이 구간을 나눈다

뒤집어 민 펄스의 두 모서리가 고정 펄스의 두 모서리를 지나는 순간이 한계점이다. 이 예에서는 t=0 에서 겹침이 시작되고, t=1 에서 완전히 포개지며, t=2 에서 겹침이 끝난다. 한계점 사이에서는 적분 구간의 한계가 max(0, t−1) 과 min(1, t) 로 매끄럽게 정해진다.

각 구간에서 적분한다

두 펄스의 높이가 모두 1 이라 곱도 겹친 구간에서 1 이다. 그래서 적분은 겹친 구간의 길이가 된다. 0 ≤ t ≤ 1 에서는 길이가 t 라 y=t 로 오르고, 1 ≤ t ≤ 2 에서는 길이가 2−t 라 y=2−t 로 내린다. 두 직선이 t=1 에서 만나 높이 1 의 봉우리를 이룬다.

관찰y(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ

겹친 구간 길이를 적분으로 잰다.

고르기1 ≤ t ≤ 2: y = ?

두 번째 구간에서는 길이가 줄어 2−t.

빈칸y(1) = ?

완전히 겹친 t=1 에서 봉우리.

스스로width = 1 + 1 = ?

출력 폭은 두 입력 폭의 합.

조각은 이어지고, 폭은 더해진다

구간별 식들은 한계점에서 값이 같아 끊김 없이 이어진다. 그래서 합성곱은 늘 연속 함수다. 출력의 폭은 두 입력 폭의 합이다. 여기서는 1+1=2. 두 펄스의 폭이 다르면 삼각형 대신 윗변이 평평한 사다리꼴이 나오지만, 구간을 나눠 적분하는 절차는 똑같다.

첫 화면으로 돌아가서

삼각형의 세 직선 조각은 저마다 한 구간의 적분에서 나왔다. 오르는 조각은 0 ≤ t ≤ 1 의 y=t, 내리는 조각은 1 ≤ t ≤ 2 의 y=2−t, 양 끝의 0 은 겹침이 없는 바깥 구간이다. 삼각형의 모서리들은 정확히 한계점 t=0, 1, 2 에 놓였는데, 그 t 마다 미는 펄스의 모서리가 고정 펄스의 모서리를 지났기 때문이다. 합성곱 계산이란 결국 이 한계점을 찾아 구간을 나누고 각 구간을 적분하는 일이다.

합성곱을 손으로 계산하려면, 겹침 영역이 바뀌는 한계점(미는 모서리가 고정 모서리를 지나는 t)을 찾아 시간축을 구간으로 나누고, 각 구간에서 알맞은 한계로 곱을 적분한다. 결과는 조각마다 다른 식의 연속 함수다. 사각 펄스 ∗ 사각 펄스 = 삼각형이며, 출력의 폭은 두 입력 폭의 합이다. 폭이 다르면 사다리꼴이 된다.

다음 유닛으로

이제 합성곱을 그림으로도 식으로도 다룰 수 있다. 다음 유닛 LTI 성질에서는 임펄스 응답 h 의 모양만 보고 시스템의 성질을 읽는다. h 가 t<0 에서 0 이면 인과, h 를 적분한 값이 유한하면 안정이다. 직렬·병렬로 이은 시스템은 합성곱의 결합·분배법칙으로 하나의 h 로 합쳐진다. 방금 익힌 구간별 적분이 그 합쳐진 응답을 구하는 도구가 된다.