SC · LTI·합성곱

합성곱 계산

합성곱을 손으로 구할 때는 겹침이 바뀌는 한계점에서 시간을 구간으로 나누고, 구간마다 곱을 따로 적분한다. 폭이 1인 사각 펄스 둘의 합성곱이 어떻게 삼각형이 되는지 구간별로 직접 확인해요.

구간이 바뀌면 식도 바뀐다

위 그림은 고정된 입력 펄스(금색)와 뒤집어 민 펄스(파랑), 그리고 두 펄스가 겹친 초록 넓이이고, 초록 점선 두 개가 적분 구간의 양 끝이다. 아래 그림은 그 넓이를 모은 결과 삼각형이에요. 슬라이드 위치 t를 움직이면 지금 놓인 구간과 그 구간의 식이 바뀌는데, 식이 갈리는 곳은 한계점 t = 0, 1, 2다.

입력 펄스뒤집어 민 펄스

출력 y(t) = 삼각형

슬라이드 위치 t-0.40

t < 0

y = 0

0 ≤ t ≤ 1

y = t

1 ≤ t ≤ 2

y = 2 − t

t > 2

y = 0

활성 구간과 식

t < 0   y = 0  =  0.00

두 펄스가 겹치지 않아 적분 구간이 비어 있으니 y(t) = 0이다. t < 0이거나 t > 2인 바깥 구간이에요.

겹침 없음

한계점이 구간을 나눈다

뒤집어 민 펄스의 두 모서리가 고정 펄스의 두 모서리를 지나는 순간이 한계점이다. 이 예에서는 t = 0에서 겹침이 시작되고, t = 1에서 완전히 포개지며, t = 2에서 겹침이 끝나요. 한계점 사이에서는 적분 구간의 끝이 max(0, t − 1)과 min(1, t)로 정해지고, 그림의 초록 점선 두 개가 바로 이 두 끝이다.

각 구간에서 적분한다

두 펄스의 높이가 모두 1이라 곱도 겹친 구간에서 1이고, 그래서 적분은 겹친 구간의 길이가 된다. 0 ≤ t ≤ 1에서는 그 길이가 t라 y = t로 오르고, 1 ≤ t ≤ 2에서는 길이가 2 − t라 y = 2 − t로 내려와요. 두 직선이 t = 1에서 만나 높이 1의 봉우리를 이룬다.

관찰y(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ

겹친 구간 길이를 적분으로 잰다.

고르기1 ≤ t ≤ 2: y = ?

두 번째 구간에서는 길이가 줄어 2−t.

빈칸y(1) = ?

완전히 겹친 t=1 에서 봉우리.

스스로폭 = 1 + 1 = ?

출력 폭은 두 입력 폭의 합.

조각은 이어지고, 폭은 더해진다

구간별 식들은 한계점에서 값이 같아 끊김 없이 이어진다. 두 사각 펄스처럼 크기가 유한한 신호끼리의 합성곱은 이렇게 늘 연속 함수예요. 출력의 폭은 두 입력 폭의 합이라 여기서는 1 + 1 = 2이다. 두 펄스의 폭이 다르면 삼각형 대신 윗변이 평평한 사다리꼴이 나오지만, 구간을 나눠 적분하는 절차는 똑같다.

첫 화면으로 돌아가서

삼각형의 세 직선 조각은 저마다 한 구간의 적분에서 나왔어요. 오르는 조각은 0 ≤ t ≤ 1의 y = t, 내리는 조각은 1 ≤ t ≤ 2의 y = 2 − t, 양 끝의 0은 겹침이 없는 바깥 구간이다. 삼각형의 꺾인 점들이 정확히 한계점 t = 0, 1, 2에 놓인 것은, 그 시각마다 미는 펄스의 모서리가 고정 펄스의 모서리를 지났기 때문이다. 합성곱 계산이란 결국 이 한계점을 찾아 구간을 나누고 구간마다 적분하는 일이다.

합성곱을 손으로 계산하려면 겹침 영역이 바뀌는 한계점, 곧 미는 모서리가 고정 모서리를 지나는 t를 찾아 시간축을 구간으로 나누고, 구간마다 알맞은 끝으로 곱을 적분한다. 결과는 조각마다 식이 다른 연속 함수다. 사각 펄스 ∗ 사각 펄스 = 삼각형이며, 출력의 폭은 두 입력 폭의 합이고, 폭이 다르면 사다리꼴이 된다.

다음 유닛으로

이제 합성곱을 그림으로도 식으로도 다룰 수 있어요. 다음 유닛 LTI 시스템의 성질에서는 임펄스 응답 h의 모양만 보고 시스템의 성질을 읽는다. t < 0에서 h가 0이면 인과적이고, |h|를 적분한 값이 유한하면 안정하다. 직렬과 병렬로 이은 시스템은 합성곱의 결합 · 분배법칙으로 하나의 h로 합쳐지고, 방금 익힌 구간별 적분이 그 합쳐진 응답을 구하는 도구가 된다.