SC · 신호 기초

기본 신호

임펄스 · 계단 · 지수는 신호의 알파벳이다. 따로 외우는 대신, 계단이 임펄스의 누적이라는 한 가지 관계로 묶어 본다.

적분 상한을 쓸어 계단을 쌓기

가운데 좁은 펄스는 면적이 1인 임펄스 근사다. 슬라이더로 적분 상한 t 를 오른쪽으로 옮기면 펄스 아래 면적이 쌓이고, 그 누적값이 흐린 목표 계단 위로 올라간다.

목표 계단 u임펄스 근사 δ

적분 상한 t-2.00

누적 면적 = 계단 값

∫ δ = 0.00

상한이 펄스 왼쪽에 있으면 아직 임펄스를 만나지 않았다. 누적 면적은 0, 계단은 시작도 안 했다.

면적 0

임펄스는 면적 1의 한 점

임펄스 δ(t)는 폭을 0 으로 좁히고 높이를 무한히 키우되 면적은 1 로 붙잡은 극한이다. 그래서 값이 아니라 면적으로 정의한다. 다른 신호와 곱해 적분하면 그 신호의 한 점 값만 뽑아낸다(추출 성질).

계단은 임펄스의 누적

단위 계단 u(t)는 t<0 에서 0, t≥0 에서 1 이다. 이것은 임펄스를 왼쪽부터 t 까지 적분한 값과 똑같다. 거꾸로 계단을 미분하면 점프하는 순간에만 솟는 임펄스가 된다. 적분과 미분이 둘을 한 쌍으로 묶는다.

관찰u(t) = ∫ δ(τ) dτ

계단은 임펄스를 왼쪽부터 누적한 것.

고르기δ(t) = ?

계단을 미분하면 점프에서 임펄스.

빈칸∫ x(t) δ(t − t₀) dt = ?

임펄스는 한 점 값만 뽑는다.

스스로d/dt eᵃᵗ = ?

지수의 도함수는 a 배 자기 자신.

지수는 변화율이 자기 자신

지수 신호 eᵃᵗ는 도함수가 a 배의 자기 자신이다. 그래서 a 의 부호가 운명을 가른다. a>0 이면 폭발적으로 커지고, a<0 이면 0 으로 잦아들며, a=0 이면 상수다. 시스템의 자연 응답이 늘 이 모양으로 나타난다.

첫 화면으로 돌아가서

슬라이더가 쓸어 올린 누적 면적이 바로 계단이었다. 상한이 임펄스를 지나는 동안 면적이 0 에서 1 로 차올라 계단의 점프를 그렸고, 다 지나면 1 에 고정됐다. 임펄스와 계단은 적분 한 번으로 이어진 한 쌍이고, 지수는 변화율이 자기 자신인 세 번째 글자다. 이 셋이 앞으로 모든 신호를 짓는 벽돌이 된다.

세 기본 신호는 미적분으로 묶인다. 임펄스 δ(t)는 면적 1 로 정의되고 추출 성질 ∫ x(t) δ(t − t₀) dt = x(t₀)을 가진다. 단위 계단 u(t)는 임펄스의 누적, 곧 u(t) = ∫ δ(τ) dτ 이며 거꾸로 δ(t) = du/dt 다. 지수 eᵃᵗ는 도함수가 a 배 자기 자신이라 a 의 부호로 성장 · 상수 · 감쇠가 갈린다.

다음 유닛으로

임펄스는 다음 장의 주인공이다. 임펄스 응답은 시스템에 임펄스 하나를 넣었을 때의 출력이고, 거기서 합성곱이 모든 입력의 출력을 임펄스 응답으로 계산하는 길을 연다. 지수는 라플라스 · 푸리에에서 시스템을 푸는 시험 신호가 된다. 다음 유닛 신호 연산에서는 신호를 시간축에서 밀고 늘이는 법을 익힌다.