SC · 신호 기초

기본 신호

임펄스 · 계단 · 지수는 신호의 알파벳이다. 셋을 따로 외우기보다, 계단이 임펄스를 쌓은 것이라는 한 가지 관계로 묶어 두면 훨씬 단단히 남아요.

적분 상한을 쓸어 계단을 쌓기

가운데 좁은 직사각형 펄스는 폭 0.5, 높이 2로 면적이 1인 임펄스 근사예요. 슬라이더로 적분 상한 t를 오른쪽으로 옮기면 펄스 아래 면적이 금색으로 차오르고, 그 누적값이 흐린 점선의 목표 계단을 따라 올라간다.

목표 계단 u임펄스 근사 δ

적분 상한 t-2.00

누적 면적 = 계단 값

∫ δ = 0.00

상한이 아직 펄스 왼쪽에 있어 임펄스를 만나지 않았다. 누적 면적은 0이고, 계단은 시작도 하지 않았어요.

면적 0

임펄스는 면적 1의 한 점

임펄스 δ(t)는 폭을 0으로 좁히고 높이를 끝없이 키우되 면적은 1로 붙잡아 둔 극한이에요. 그래서 값이 아니라 면적으로 정의한다. 다른 신호에 곱해 적분하면 그 신호의 한 점 값만 뽑아내는데, 이것을 추출 성질이라 부른다.

계단은 임펄스의 누적

단위 계단 u(t)는 t < 0에서 0이고 t ≥ 0에서 1이다. 이 값은 임펄스를 왼쪽 끝부터 t까지 적분한 값과 똑같아요. 거꾸로 계단을 미분하면 점프하는 순간에만 솟는 임펄스가 되니, 적분과 미분이 둘을 한 쌍으로 묶는 셈이다.

관찰u(t) = ∫ δ(τ) dτ

계단은 임펄스를 왼쪽부터 누적한 것.

고르기δ(t) = ?

계단을 미분하면 점프에서 임펄스.

빈칸∫ x(t) δ(t − t₀) dt = ?

임펄스는 한 점 값만 뽑는다.

스스로d/dt eᵃᵗ = ?

지수의 도함수는 자기 자신의 a배.

지수는 변화율이 자기 자신

지수 신호 eᵃᵗ는 도함수가 자기 자신의 a배라서, a의 부호가 운명을 가른다. a > 0이면 걷잡을 수 없이 커지고, a < 0이면 0으로 잦아들며, a = 0이면 상수로 머물러요. 곁들인 작은 그림의 빨강이 a = 0.95, 파랑이 a = −0.95이고, 선형 시불변 시스템의 자연 응답은 늘 이런 지수 모양으로 나타난다.

첫 화면으로 돌아가서

슬라이더가 쓸어 올린 누적 면적이 곧 계단이었어요. 상한이 임펄스를 지나는 동안 면적이 0에서 1로 차올라 계단의 점프를 그렸고, 다 지나자 1에 머물렀다. 임펄스와 계단은 적분 한 번으로 이어진 한 쌍이고, 지수는 변화율이 자기 자신에 비례하는 세 번째 글자다. 이 셋이 앞으로 모든 신호를 짓는 벽돌이 된다.

세 기본 신호는 미적분으로 묶인다. 임펄스 δ(t)는 면적 1로 정의되고 추출 성질 ∫ x(t) δ(t − t₀) dt = x(t₀)를 가진다. 단위 계단 u(t)는 임펄스의 누적, 곧 u(t) = ∫ δ(τ) dτ이며 거꾸로 δ(t) = du/dt다. 지수 eᵃᵗ는 도함수가 자기 자신의 a배라서 a의 부호에 따라 성장 · 상수 · 감쇠로 갈린다.

다음 유닛으로

임펄스는 다음 장의 주인공이다. 임펄스 응답은 시스템에 임펄스 하나를 넣었을 때의 출력이고, 여기서 합성곱이 모든 입력에 대한 출력을 임펄스 응답으로 계산하는 길을 열어요. 지수는 라플라스와 푸리에에서 시스템을 푸는 시험 신호가 된다. 다음 유닛 신호 연산에서는 신호를 시간축에서 밀고 늘이는 법을 익힌다.