블록선도와 피드백

피드백으로 불안정을 안정시키기

위 그림은 음의 피드백 루프다. 입력 X가 합산점(+)으로 들어가고, 앞 경로의 플랜트 H(s) = 1/(s − 1)을 지난 출력 Y는 이득 k인 되먹임 경로를 거쳐 합산점에서 빼진다(−). 이 플랜트는 극이 우반면의 +1에 있어 그대로 두면 발산해요. 아래 그림은 닫힌 루프의 임펄스 응답 e^((1 − k)t)이고, k는 0.4에서 시작한다. 이득 k를 키워 닫힌 루프 극 s = 1 − k를 허수축 왼쪽으로 넘기면 커지던 응답이 0으로 잦아드는 것을 볼 수 있다.

상자를 잇는 대수

블록선도는 시스템을 전달함수가 적힌 상자로 그리고, 신호가 흐르는 방향을 화살표로 잇는다. 두 시스템을 직렬로 이으면 첫째의 출력이 둘째의 입력이 되므로 전체 전달함수는 두 전달함수의 곱 H₁H₂다. 같은 입력을 두 시스템에 나눠 넣고 출력을 더하는 병렬이면 전체는 합 H₁ + H₂가 돼요. 아무리 복잡한 신호 흐름이라도 이 곱하기와 더하기 규칙을 차례로 적용하면 전달함수 하나로 줄여 나갈 수 있다.

피드백이 루프를 닫는다

피드백은 출력을 되돌려 입력에서 빼는 구조다. 앞 경로 H에 들어가는 신호는 원래 입력 X에서 되먹임 경로 G를 거친 출력 GY를 뺀 것이므로 Y = H(X − GY)이다. 이를 정리하면 Y(1 + HG) = HX, 곧 닫힌 루프 전달함수 T = Y/X = H/(1 + HG)가 나와요. 분모의 1 + HG가 피드백이 새로 만든 부분이다. 음의 피드백에서는 출력이 넘치면 앞 경로에 들어가는 신호가 줄고 모자라면 늘어나므로, 출력이 목표를 따라가도록 저절로 조정된다. 첫 화면의 그림에서는 되먹임 경로 G가 상수 k다.

피드백이 극을 옮긴다

닫힌 루프의 극은 분모 1 + HG = 0의 근이다. 이 식은 열린 루프 H의 극을 정하던 식과 다르므로, 피드백을 걸면 극이 새 자리로 옮겨 간다. 첫 화면의 불안정한 플랜트 H = 1/(s − 1)에 이득 k의 음의 피드백을 걸면 닫힌 루프는 1/(s − 1 + k)가 되고, 극은 s = 1 − k로 옮겨져요. 따라서 k를 1보다 크게 하면 극이 좌반면으로 넘어가 시스템이 안정해진다. 이렇게 이득으로 극의 자리를 정하는 것이 제어의 핵심이며, 이득을 바꿀 때 극이 그리는 길을 따라가는 방법이 뒤에 나올 근궤적이다.

첫 화면으로 돌아가서

플랜트 H = 1/(s − 1)은 극이 우반면에 있어 혼자서는 발산했다. 피드백 루프를 닫고 이득 k를 키우자 닫힌 루프 극 s = 1 − k가 허수축을 지나 좌반면으로 넘어갔고, 커지던 응답이 0으로 잦아들었어요. 피드백은 상자를 하나 더 이어 붙인 데 그치지 않고 분모를 1 + HG로 바꿔 극을 새 자리로 옮겼다. 이득 하나로 극을 배치해 불안정을 안정으로 바꾸는 것, 그것이 피드백 제어의 핵심이다.

피드백으로 극을 원하는 자리에 놓을 수 있다면, 설계를 끝내려면 그 극의 위치가 어떤 응답을 만드는지 정확히 알아야 한다. 다음 유닛에서는 표준형 일차계와 이차계의 응답을 살펴본다. 일차계는 시간상수 τ 하나로 정해지는 단순 감쇠이고, 이차계는 감쇠비 ζ와 고유진동수 ωn이 과도 응답을 정해서, 오버슈트나 정착 시간 같은 실무 사양을 극의 위치에서 바로 읽을 수 있어요. 피드백으로 옮긴 극이 어떤 응답을 낳는지가 거기서 분명해진다.