블록선도와 피드백

피드백으로 불안정을 안정시키기

위는 음의 피드백 루프다. 앞 경로의 플랜트 H(s) = 1/(s−1) 는 극이 우반면(+1)에 있어 그대로 두면 발산한다. 아래는 닫힌 루프 응답이다. 피드백 이득 k 를 키워 닫힌 루프 극 s = 1−k 를 허수축 왼쪽으로 넘겨, 발산하던 응답이 0 으로 잦아들게 하라.

상자를 잇는 대수

블록선도는 시스템을 전달함수가 적힌 상자로 그리고 신호의 흐름을 화살표로 잇는다. 두 시스템을 직렬로 이으면, 첫 출력이 둘째 입력이 되므로 전체 전달함수는 두 전달함수의 곱 H₁H₂ 다. 같은 입력을 두 시스템에 나눠 넣고 출력을 더하는 병렬이면 합 H₁+H₂ 다. 복잡한 신호 흐름도 이 곱하기와 더하기 규칙으로 차근차근 하나의 전달함수로 줄여 나갈 수 있다.

피드백이 루프를 닫는다

피드백은 출력을 되돌려 입력에서 빼는 구조다. 앞 경로 H 의 입력은 원래 입력 X 에서 되먹임 경로 G 를 거친 출력을 뺀 것이라 Y = H(X − GY) 다. 이를 풀면 Y(1 + HG) = HX, 곧 닫힌 루프 전달함수 T = Y/X = H/(1 + HG) 가 나온다. 분모의 1 + HG 가 피드백이 만든 새 식이다. 음의 피드백이라 출력이 과하면 입력을 줄이고 모자라면 늘려, 시스템이 스스로 목표를 따라가게 만든다.

피드백이 극을 옮긴다

닫힌 루프의 극은 분모 1 + HG = 0 의 뿌리다. 이것은 열린 루프 H 의 극을 만들던 식과 다르므로, 피드백은 극을 새 자리로 옮긴다. 방금 본 불안정 플랜트 H = 1/(s−1) 에 이득 k 의 음의 피드백을 걸면 닫힌 루프는 1/(s − 1 + k) 가 되어 극이 s = 1 − k 로 옮겨진다. k 를 1 보다 키우면 극이 좌반면으로 넘어가 시스템이 안정해진다. 이렇게 이득으로 극을 배치하는 것이 제어의 핵심이고, 이득을 바꾸며 극이 그리는 길을 따라가는 것이 뒤에 나올 근궤적이다.

첫 화면으로 돌아가서

플랜트 H = 1/(s−1) 는 극이 우반면에 있어 혼자서는 발산했다. 피드백 루프를 닫고 이득 k 를 키우자 닫힌 루프 극 s = 1−k 가 허수축을 지나 좌반면으로 넘어갔고, 커지던 응답이 0 으로 잦아들었다. 피드백은 단지 상자를 이은 것이 아니라 분모를 1+HG 로 바꿔 극을 새 자리로 옮긴 것이다. 이렇게 이득 하나로 시스템의 극을 배치해 불안정을 안정으로 바꾸는 것이 피드백 제어의 핵심이다.

피드백으로 극을 원하는 자리에 놓을 수 있다면, 그 극의 위치가 만드는 응답의 모양을 정확히 알아야 설계가 완성된다. 다음 유닛 1차·2차 응답에서는 표준형 시스템의 응답을 본다. 1차계는 시간상수 τ 하나로 정해지는 단순 감쇠이고, 2차계는 감쇠비 ζ 와 고유진동수 ωn 으로 과도가 정해져, 오버슈트와 정착 시간 같은 실무 사양이 극의 위치에서 곧바로 읽힌다. 피드백으로 옮긴 극이 어떤 응답을 낳는지가 거기서 또렷해진다.