SC · 제어

진상·지상 보상

보상기는 극 하나와 영점 하나로 된 작은 전달함수를 루프에 끼워 보드 선도의 위상과 이득을 원하는 모양으로 바꾼다. 진상 보상기는 영점을 극보다 원점 가까이 두어 교차 주파수 부근에서 위상을 끌어올려 위상여유를 키우고, 지상 보상기는 극을 영점보다 원점 가까이 두어 낮은 주파수의 이득을 키워 정상상태 오차를 줄인다. 진상 보상기의 위상 봉우리를 교차 주파수 근처에 얹어 얇던 위상여유를 좋은 값까지 끌어올리는 과정을 이 강에서 확인해요.

진상 보상으로 위상여유를 끌어올리기

F1 ~ F4 유닛과 같은 플랜트에 이득 2를 건 열린 루프 L(s) = 2·C(s)/(s(s + 1)(s + 2))의 보드 선도다. 위는 이득(dB), 아래는 위상(도)이고, 회색 점선은 보상 전(C = 1), 금색 실선은 진상 보상기 C(s) = (1 + αTs)/(1 + Ts)를 더한 뒤예요. 보상 전 위상여유는 약 33°로 목표 45°에 못 미친다. α를 키우면 영점과 극의 간격이 벌어져 위상에 봉우리가 솟고, 그 봉우리의 최대 높이는 φ_max = asin((α − 1)/(α + 1))이다. 중심 주파수 ω_m을 움직여 그 봉우리를 금색 점, 곧 이득이 0 dB를 지나는 교차 주파수 근처에 얹으면 그 자리에서 위상이 들려 위상여유가 커진다. 예를 들어 α = 4, ω_m = 1.5이면 위상여유가 약 53°가 되고, 두 손잡이로 45° ~ 60° 사이를 찾을 수 있어요.

이득 (dB) · 점선 보상 전, 실선 보상 후

위상 (도) · 금색 세로 점선이 ω_m 자리이니 봉우리를 교차 주파수에 맞춘다

α (영점·극 간격비)1.0

중심 주파수 ω_m1.50

보상기와 위상여유

α = 1.0 · ω_m = 1.50 · φ_max = 0°

PM: 33° → 33° · 이득 교차 ω = 0.75

위상여유가 아직 45°에 못 미친다. 진상 보상기의 위상 봉우리가 너무 낮거나 교차 주파수에서 벗어나 있는 상태예요. α를 키우면 봉우리가 높아지고, ω_m을 교차 주파수 근처로 옮기면 그 자리에서 위상이 들린다. 보상기가 더한 이득 때문에 교차 주파수가 오른쪽으로 조금 옮겨 가므로, ω_m도 그만큼 함께 맞춰야 한다.

여유 얇음 (보상 부족)

극 하나, 영점 하나로 위상을 빚다

진상 보상기는 C(s) = (1 + αTs)/(1 + Ts), α > 1 꼴이며 영점은 s = −1/(αT)에, 극은 s = −1/T에 둔다. 영점이 극보다 원점에 가까워 낮은 주파수에서 먼저 작동하므로 두 코너 주파수 사이에서 위상이 양으로 들려요. 보드 선도로 보면 영점에서 위상이 +90°까지 오르려다 극이 다시 끌어내려, 두 코너의 기하평균인 ω_m = 1/(T√α)에서 위상이 가장 커진다. 그 최댓값은 간격비 α에만 달려 있어 φ_max = asin((α − 1)/(α + 1))이고, α = 4이면 약 37°, α = 10이면 약 55°다. α가 클수록 봉우리가 높지만 같은 ω_m에서 보상기의 이득도 √α배 함께 오르므로, 진상 보상은 위상을 빌리는 대신 고주파 이득을 내주는 거래다.

관찰진상 보상기가 위상을 들어 올리는 곳: 교차 주파수

진상 보상기는 교차 주파수 근처에서 위상을 들어 위상여유를 키운다.

고르기최대 위상 φ_max 를 정하는 것: ?

최대 위상 φ_max = asin((α − 1)/(α + 1))은 간격비 α에만 달렸다.

빈칸정상상태 오차를 줄이려면 ? 보상기

지상 보상기는 낮은 주파수 이득을 키워 정상상태 오차를 줄인다.

스스로진상은 고주파 이득을 키우므로 증폭하는 것: ?

진상은 고주파 이득을 키워 잡음을 증폭한다(미분 항과 같은 약점).

지상 보상은 거울상이다

지상 보상기도 꼴은 같지만 α < 1이어서 극이 영점보다 원점에 가깝다. 이번에는 위상이 음으로 살짝 패이고, 대신 낮은 주파수에서 높은 주파수로 갈수록 이득이 α배로 줄어든다. 뒤집어 말하면 높은 주파수를 기준으로 낮은 주파수의 이득을 1/α배 높이는 셈이어서, 루프 이득을 1/α배 올려도 교차 주파수 부근의 이득은 그대로 둘 수 있고 커진 직류 이득이 F5 유닛에서 본 정상상태 오차를 줄여요. 위상이 패이는 손해는 두 코너를 교차 주파수보다 훨씬 낮은 곳에 두어 피하는데, 교차 주파수에 이르면 위상 패임이 거의 0으로 돌아와 위상여유를 거의 건드리지 않기 때문이다. 진상이 미분 항처럼 위상과 빠르기를 더한다면, 지상은 적분 항처럼 낮은 주파수 이득을 더해 오차를 줄이며, 둘을 함께 쓰는 것이 진상지상 보상이다.

회로로 짓는 보상기, 그리고 한계

보상기의 매력은 극 하나와 영점 하나면 되므로 연산증폭기와 저항, 축전기 몇 개로 곧장 회로가 된다는 데 있다. 진상 보상기는 미분기와 닮았지만 극 덕분에 고주파 이득이 α배에서 더 오르지 않아, 순수 미분이 잡음을 끝없이 키우는 문제가 줄어든다. 사실 실용 PID와 진상지상 보상은 가까운 사이예요. 적분 항은 원점에 놓인 극(지상의 극단)이고 미분 항에 필터를 붙인 것이 진상 보상기이므로, 둘은 같은 일을 다른 언어로 하는 셈이다. 시간 영역에서 이득 세 개를 고르는 것이 PID 조율이고, 주파수 영역에서 극과 영점을 놓아 보드 선도를 모양 잡는 것이 보상기 설계다. 한계도 분명해서, 진상은 고주파 이득을 키워 잡음과 포화에 약하고 지상은 느린 극을 더해 정착 시간을 길게 만든다. 그래서 위상은 진상으로 빌리고 정확도는 지상으로 채우되, 둘 다 꼭 필요한 만큼만 쓰는 것이 설계의 요령이다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서는 위상여유가 약 33°뿐이던 열린 루프에 진상 보상기를 더했다. α를 키워 위상에 봉우리를 세우고 중심 주파수 ω_m을 이득이 0 dB를 지나는 교차 주파수 근처로 옮기자, 바로 그 자리에서 위상이 −180°에서 멀리 들려 위상여유가 좋은 값까지 올라갔어요. 보상기는 극 하나와 영점 하나만으로 보드 선도의 위상을 원하는 곳에서 끌어올린 것이다. 진상이 위상을 빌려 빠르기와 안정을 더했다면, 지상은 낮은 주파수 이득을 더해 정확도를 채운다. F3 유닛에서 읽기만 했던 위상여유를 이제 보상기를 설계해 직접 만들어 낸 셈이다.

보상기 C(s) = (1 + αTs)/(1 + Ts)는 극 하나와 영점 하나로 열린 루프의 보드 선도를 모양 잡는다. 진상 보상(α > 1, 영점이 원점에 더 가까움)은 ω_m = 1/(T√α)에서 위상을 φ_max = asin((α − 1)/(α + 1))만큼 들어 올려 위상여유를 키운다(미분 항처럼 빠르기와 안정을 더하되, 고주파 이득이 α배까지 올라 잡음을 키움). 지상 보상(α < 1, 극이 원점에 더 가까움)은 낮은 주파수 이득을 상대적으로 1/α배 키워 정상상태 오차를 줄인다(적분 항처럼, 두 코너를 교차 주파수보다 낮게 두어 위상 손실을 피함). 위상 봉우리를 교차 주파수에 맞추는 것이 설계의 핵심이고, 실용 PID와 진상지상 보상은 같은 일을 다른 언어로 하는 사이예요.

다음 유닛으로

지상 보상기가 낮은 주파수 이득을 키워 정상상태 오차를 줄인다고 했는데, 그 오차는 정확히 무엇으로 정해질까. 다음 유닛 정상상태 오차에서는 열린 루프가 원점에 가진 극의 수, 곧 시스템형(0형, 1형, 2형)이 계단, 램프, 포물선 입력에 대한 최종 오차를 어떻게 결정하는지 다룬다. 위치 오차 상수 K_p, 속도 오차 상수 K_v, 가속도 오차 상수 K_a가 각각 그 오차를 정하고, 원점의 극 하나가 한 종류의 입력에 대한 오차를 통째로 0으로 만들어요. 지상 보상기가 직류 이득을 키워 한 일과 적분 항이 원점에 극을 더해 한 일이 거기서 하나의 표로 정리된다.