SC · 제어

진상·지상 보상

보상기는 극 하나와 영점 하나로 된 작은 전달함수를 루프에 끼워 보드선도의 위상과 이득을 원하는 모양으로 바꾼다. 진상 보상기는 영점을 극보다 앞에 두어 교차 주파수 부근에서 위상을 끌어올려 위상여유를 키우고, 지상 보상기는 극을 영점보다 앞(원점 근처)에 두어 낮은 주파수의 이득을 키워 정상상태 오차를 줄인다. 진상 보상기의 위상 봉우리를 교차 주파수에 맞춰, 여유 없던 루프의 위상여유를 좋은 값까지 직접 끌어올려 본다.

진상 보상으로 위상여유를 끌어올리기

F1~F4 와 같은 플랜트에 이득을 더한 열린 루프 L(s) = 4·C(s)/(s(s+1)(s+2)) 의 보드선도다. 위는 이득(dB), 아래는 위상(도), 점선은 보상 전(C=1), 실선은 진상 보상기 C(s) = (1+αTs)/(1+Ts) 를 더한 뒤다. 보상 전에는 위상여유가 약 11° 로 매우 얇다. α 를 키우면 영점과 극의 간격이 벌어져 위상에 봉우리가 솟고, 그 봉우리의 최대 높이는 φ_max = asin((α−1)/(α+1)) 다. 중심 주파수 ω_m 를 움직여 그 봉우리를 이득이 0 dB 를 지나는 교차 주파수에 맞추면, 바로 그 자리에서 위상이 위로 들려 위상여유가 커진다. 위상여유가 45°~60° 가 되도록 두 손잡이를 맞춰라.

이득 (dB) · 점선 보상 전, 실선 보상 후

위상 (도) · 봉우리를 교차 주파수에

α (영점·극 간격비)1.0

중심 주파수 ω_m1.50

보상기와 위상여유

α = 1.0 · ω_m = 1.50 · φ_max = 0°

PM: 11° → 11° · gain xover ω = 1.14

위상여유가 아직 얇다. 진상 보상기의 위상 봉우리가 너무 작거나 교차 주파수에서 벗어나 있다. α 를 키워 봉우리를 높이고, 중심 주파수 ω_m 를 이득이 0 dB 를 지나는 교차 주파수에 맞춰 그 자리에서 위상이 들리게 하라. 보상기가 더한 이득이 교차 주파수를 약간 오른쪽으로 옮기니, ω_m 도 함께 조금 높여 봉우리를 새 교차점에 다시 맞춘다.

여유 얇음 (보상 부족)

극 하나, 영점 하나로 위상을 빚다

진상 보상기는 C(s) = (1+αTs)/(1+Ts), α>1 의 꼴로, 영점은 s = −1/(αT) 에, 극은 s = −1/T 에 둔다. 영점이 극보다 원점에 가까워 먼저 작동하므로, 두 코너 주파수 사이에서 위상이 양으로 들린다. 보드선도로 보면 영점에서 위상이 +90° 까지 오르려다 극이 다시 끌어내려, 두 코너의 기하평균인 ω_m = 1/(T√α) 에서 위상이 최대가 된다. 그 최댓값은 간격비 α 에만 달려 있어 φ_max = asin((α−1)/(α+1)) 이다. α 가 클수록 봉우리가 높지만, 같은 ω_m 에서 보상기의 이득도 √α 배만큼 함께 오른다. 그래서 진상 보상은 위상을 빌리는 대신 고주파 이득을 내주는 거래다.

관찰a lead compensator lifts the phase near crossover

진상 보상기는 교차 주파수에서 위상을 들어 위상여유를 키운다.

고르기the peak phase φ_max depends only on ?

최대 위상 φ_max = asin((α−1)/(α+1)) 은 간격비 α 에만 달렸다.

빈칸to cut steady-state error, use a ? compensator

지상 보상기는 낮은 주파수 이득을 키워 정상상태 오차를 줄인다.

스스로lead raises high-frequency gain, so it amplifies ?

진상은 고주파 이득을 키워 잡음을 증폭한다(미분 항과 같은 약점).

지상 보상은 거울상이다

지상 보상기도 꼴은 같지만 α<1 이라 극이 영점보다 원점에 가깝다. 이번에는 위상이 음으로 살짝 패이고, 대신 낮은 주파수에서 높은 주파수로 갈수록 이득이 1/α 배만큼 떨어진다. 뒤집어 말하면 높은 주파수를 기준으로 낮은 주파수의 이득을 1/α 배 높이는 셈이다. 그래서 지상 보상기는 정상상태 정확도를 높인다. 직류 이득이 커지면 F5 에서 본 정상상태 오차가 줄기 때문이다. 위상이 패이는 손해는 두 코너를 교차 주파수보다 훨씬 낮은 곳에 두어 피한다. 그 자리에서는 위상 패임이 이미 0 으로 돌아와 교차 주파수의 위상여유를 거의 건드리지 않는다. 진상이 미분 항처럼 위상과 속도를 더한다면, 지상은 적분 항처럼 낮은 주파수 이득을 더해 오차를 줄인다. 둘을 함께 쓰는 것이 진상지상 보상이다.

회로로 짓는 보상기, 그리고 한계

보상기의 매력은 극 하나와 영점 하나면 되므로 연산증폭기와 저항·축전기 몇 개로 곧장 회로가 된다는 데 있다. 진상 보상기는 미분기에 가깝지만 극이 고주파 이득을 막아 주어, 순수 미분이 잡음을 무한정 키우는 문제를 덜어 준다. 사실 PID 의 실용형이 바로 진상지상 보상이다. 적분 항은 원점의 극(지상의 극단)이고, 미분 항에 필터를 붙인 것이 진상 보상기다. 그래서 둘은 같은 일을 다른 언어로 말한다. 시간 영역에서 이득 세 개를 고르는 것이 PID 조율이고, 주파수 영역에서 극·영점을 놓아 보드선도를 모양 잡는 것이 보상기 설계다. 한계도 분명하다. 진상은 고주파 이득을 키워 잡음과 포화에 약하고, 지상은 느린 극을 더해 정착 시간을 길게 만든다. 그래서 위상은 진상으로 빌리고 정확도는 지상으로 채우되, 둘 다 꼭 필요한 만큼만 쓰는 것이 설계의 요령이다.

첫 화면으로 돌아가서

여유가 11° 밖에 없던 열린 루프에 진상 보상기를 더했다. α 를 키워 위상에 봉우리를 세우고, 중심 주파수 ω_m 를 이득이 0 dB 를 지나는 교차 주파수에 맞추자, 바로 그 자리에서 위상이 −180° 에서 멀리 들려 위상여유가 좋은 값까지 올라갔다. 보상기는 극 하나와 영점 하나만으로 보드선도의 위상을 원하는 곳에서 끌어올린 것이다. 진상이 위상을 빌려 속도와 안정을 더했다면, 지상은 낮은 주파수 이득을 더해 정확도를 채운다. F3 에서 읽기만 했던 위상여유를, 이제 보상기를 설계해 직접 만들어 낸 셈이다.

보상기 C(s) = (1+αTs)/(1+Ts) 는 극 하나와 영점 하나로 열린 루프의 보드선도를 모양 잡는다. 진상 보상(α>1, 영점이 먼저)은 ω_m = 1/(T√α) 에서 위상을 φ_max = asin((α−1)/(α+1)) 만큼 들어 올려 위상여유를 키운다(미분 항처럼 속도·안정을 더하되 고주파 이득 √α 배로 잡음 증폭). 지상 보상(α<1, 극이 먼저)은 낮은 주파수 이득을 1/α 배 키워 정상상태 오차를 줄인다(적분 항처럼, 두 코너를 교차 주파수보다 낮게 두어 위상 손실 회피). 위상 봉우리를 교차 주파수에 맞추는 것이 설계의 핵심이고, PID 의 실용형이 곧 진상지상 보상이다.

다음 유닛으로

지상 보상기가 낮은 주파수 이득을 키워 정상상태 오차를 줄인다고 했는데, 그 오차는 정확히 무엇으로 정해질까. 다음 유닛 정상상태 오차에서는 열린 루프가 원점에 가진 극의 수, 곧 시스템형(0형·1형·2형)이 계단·램프·포물선 입력에 대한 최종 오차를 어떻게 결정하는지 본다. 위치 오차 상수 K_p, 속도 오차 상수 K_v, 가속도 오차 상수 K_a 가 각각 그 오차의 역수로 나타나고, 원점의 극 하나가 한 종류의 입력에 대한 오차를 통째로 0 으로 만든다. 지상 보상기가 직류 이득을 키워 한 일과, 적분 항이 원점에 극을 더해 한 일이, 여기서 하나의 표로 정리된다.