1차·2차 응답

감쇠비를 맞춰 가장 빠르게 정착시키기

위는 s 평면이고 ×가 2차계의 극이다. 부족감쇠면 극이 실수축을 벗어난 복소 한 쌍이라 응답이 출렁이며 따라오고, 과감쇠면 극 둘이 실수축에 멀찍이 떨어져 굼뜨다. 아래는 그 계단 응답이다. 감쇠비 ζ 를 1 쪽으로 옮겨 두 극이 실수축에서 만나는 임계감쇠, 곧 넘침 없이 가장 빨리 목표에 닿는 자리를 찾아라. ωn 은 전체 속도를 키운다.

1차계: 시간상수 하나

극이 실수축 위 하나뿐인 1차계 H(s)=1/(τs+1) 는 극이 s=−1/τ 에 있다. 그 계단 응답은 1−e^(−t/τ) 로, 진동 없이 목표를 향해 부드럽게 오르는 지수다. 시간상수 τ 는 응답이 최종값의 약 63%에 닿는 데 걸리는 시간이고, 4τ 쯤이면 사실상 다 정착한다. 극이 원점에 가까울수록(τ 가 클수록) 느리고, 멀수록 빠르다. 극의 위치 하나가 속도를 정하는 것이다.

2차계: 두 극이 정하는 과도

표준형 2차계 H(s)=ωn²/(s²+2ζωn s+ωn²) 의 극은 특성방정식 s²+2ζωn s+ωn²=0 의 두 근이다. 풀면 s=−ζωn±ωn√(ζ²−1) 이다. 감쇠비 ζ 가 1 보다 작으면 제곱근 안이 음수라 극이 복소 한 쌍 −ζωn±jωd 가 되고, 여기서 ωd=ωn√(1−ζ²) 가 실제로 진동하는 주파수다. 극의 실수부 −ζωn 은 진폭이 잦아드는 속도, 허수부 ωd 는 진동 속도를 정한다. 고유진동수 ωn 은 원점에서 극까지의 거리라 전체 빠르기의 척도이고, ζ 는 극이 실수축에서 기운 각도라 응답의 모양을 정한다.

과·임계·부족감쇠로 갈리는 거동

감쇠비 ζ 하나가 거동의 종류를 가른다. ζ>1 과감쇠는 실근 둘이라 넘침 없이 느리게, ζ=1 임계감쇠는 중근이라 넘침 없이 가장 빠르게, ζ<1 부족감쇠는 복소 극이라 넘쳤다가 잦아든다. ζ=0 이면 극이 허수축 위에 놓여 영원히 진동한다. 부족감쇠의 넘침 크기는 오직 ζ 로 정해져, ζ 가 작을수록 커진다. 정착 시간은 대략 4/(ζωn) 이라 극의 실수부가 클수록 빨리 정착한다. 그래서 설계는 ζ 로 넘침을, ωn 으로 빠르기를 따로 조절한다.

첫 화면으로 돌아가서

감쇠비 ζ 를 작게 두면 극이 실수축에서 멀리 기운 복소 한 쌍이라 응답이 크게 넘쳤다가 한참 진동했고, ζ 를 1 로 올리자 두 극이 실수축에서 만나 넘침 없이 가장 빨리 정착했다. ζ 를 더 키운 과감쇠는 극이 갈라져 굼떴다. ωn 을 키우면 극이 원점에서 멀어져 같은 모양이 통째로 빨라졌다. 극이 실수축에서 기운 각도가 넘침을, 원점에서 떨어진 거리가 빠르기를 정했다. 응답의 모양과 속도가 s 평면 위 극의 자리에 그대로 적혀 있었던 것이다.

여기까지가 연속 시간 신호와 시스템의 이야기다. 라플라스 변환으로 미분방정식을 s 의 대수로 바꾸고, 극의 위치로 응답을 읽었다. 그런데 컴퓨터와 디지털 장치는 신호를 연속으로 다루지 못하고 일정 간격으로 값을 찍어 가져간다. 다음 챕터의 첫 유닛 샘플링 정리에서는, 연속 신호를 띄엄띄엄 표본으로 떠도 원래 신호를 되살릴 수 있는 조건을 본다. 신호의 가장 높은 주파수의 두 배보다 빠르게 표본을 떠야 한다는 나이퀴스트 기준이, 너무 느리게 뜨면 생기는 에일리어싱과 함께 등장한다.