1차·2차 응답

감쇠비를 맞춰 가장 빠르게 정착시키기

위 그림은 s 평면이고 금색 ×가 이차계의 두 극, 점선 반원은 원점에서 ωn만큼 떨어진 자리다. 부족감쇠에서는 두 극이 이 반원 위에서 실수축을 벗어난 복소 한 쌍이 되어 응답이 출렁이며 따라오고, 과감쇠에서는 두 극이 실수축 위에서 멀찍이 갈라져 응답이 굼떠요. 아래 그림은 단위 계단 응답이고 점선이 목표 1이다. 처음에는 ζ = 0.3, ωn = 1.4라 응답이 목표를 약 37% 넘친다. ζ를 1 쪽으로 옮겨 두 극이 실수축에서 만나는 임계감쇠를 찾으면 넘침 없이 가장 빨리 목표에 닿는 응답이 나오고, ωn을 키우면 같은 모양이 통째로 빨라져요.

일차계: 시간상수 하나

극이 실수축 위에 하나뿐인 일차계 H(s) = 1/(τs + 1)는 극이 s = −1/τ에 있다. 그 계단 응답 1 − e^(−t/τ)는 진동 없이 목표를 향해 부드럽게 오르는 지수 곡선이다. 시간상수 τ는 응답이 최종값의 약 63%에 닿는 데 걸리는 시간이고, 4τ가 지나면 98% 남짓에 이르러 사실상 정착해요. 극이 원점에 가까울수록(τ가 클수록) 느리고 멀수록 빠르니, 극의 위치 하나가 빠르기를 정하는 셈이다.

이차계: 두 극이 정하는 과도 응답

표준형 이차계 H(s) = ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²)의 극은 특성방정식 s² + 2ζωn s + ωn² = 0의 두 근이고, 풀면 s = −ζωn ± ωn√(ζ² − 1)이다. 감쇠비 ζ가 1보다 작으면 제곱근 안이 음수라 극이 복소 한 쌍 −ζωn ± jωd가 되며, 여기서 ωd = ωn√(1 − ζ²)가 실제로 흔들리는 각주파수다. 극의 실수부 −ζωn은 진폭이 잦아드는 빠르기를, 허수부 ωd는 진동의 빠르기를 정해요. 고유진동수 ωn은 원점에서 극까지의 거리라 전체 빠르기의 척도이고, ζ는 극이 음의 실수축과 이루는 각 θ의 코사인(ζ = cos θ)이라 응답의 모양을 정한다. 그래서 부족감쇠 극은 늘 반지름이 ωn인 위 그림의 점선 반원 위에 놓인다.

과감쇠 · 임계감쇠 · 부족감쇠

감쇠비 ζ 하나가 거동의 종류를 가른다. ζ > 1인 과감쇠는 실근이 둘이라 넘침 없이 느리게, ζ = 1인 임계감쇠는 중근이라 넘침 없이 가장 빠르게, ζ < 1인 부족감쇠는 복소 극이라 넘쳤다가 잦아든다. ζ = 0이면 극이 허수축 위에 놓여 끝없이 진동해요. 부족감쇠의 넘침 크기는 ζ만으로 정해져 ζ = 0.7이면 약 5%, ζ = 0.3이면 약 37%이고, 2% 정착 시간은 대략 4/(ζωn)이라 극의 실수부가 클수록 빨리 정착한다. 그래서 설계에서는 ζ로 넘침을, ωn으로 빠르기를 따로 맞추며, 약간의 넘침을 감수하고 더 빨리 오르도록 ζ를 0.7 언저리로 잡는 경우가 많다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서 감쇠비 ζ를 작게 두면 극이 실수축에서 멀리 기운 복소 한 쌍이어서 응답이 크게 넘쳤다가 한참 흔들렸고, ζ를 1로 올리자 두 극이 실수축에서 만나 넘침 없이 가장 빨리 정착했다. ζ를 더 키운 과감쇠에서는 극이 다시 갈라져 응답이 굼떴어요. ωn을 키우면 극이 원점에서 멀어져 같은 모양이 통째로 빨라졌다. 극이 실수축에서 기운 각도가 넘침을, 원점에서 떨어진 거리가 빠르기를 정한 것이다. 응답의 모양과 빠르기가 s 평면 위 극의 자리에 그대로 적혀 있었다.

여기까지가 연속 시간 신호와 시스템의 이야기다. 라플라스 변환으로 미분방정식을 s의 대수로 바꾸고, 극의 위치로 응답을 읽었다. 그런데 컴퓨터와 디지털 장치는 신호를 연속으로 다루지 못하고 일정한 간격으로 값을 찍어 가져가요. 다음 챕터의 첫 유닛 샘플링 정리에서는 연속 신호를 띄엄띄엄 표본으로 떠도 원래 신호를 되살릴 수 있는 조건을 다룬다. 신호에 든 가장 높은 주파수의 두 배보다 빠르게 표본을 떠야 한다는 나이퀴스트 기준이, 너무 느리게 뜨면 생기는 에일리어싱과 함께 나온다.