SC · 신호 기초

신호 연산

신호를 시간축에서 밀고 늘이고 뒤집는다. 이 세 연산이 독립변수 t 에 어떻게 작용하는지, 그리고 왜 안쪽부터 읽어야 하는지 익힌다.

두 슬라이더로 목표 파형에 포개기

흐린 곡선이 원본 신호 x(t)다. 점선은 맞춰야 할 목표다. 배율 a 와 이동 b 를 움직여 변환된 y(t) = x(at − b)를 목표 위에 정확히 포개라.

원본 x목표

배율 a1.00

이동 b0.00

현재 변환

y(t) = x(1.00 t − 0.00)

시작점도 폭도 목표와 다르다. a 로 폭을, b 로 시작 위치를 동시에 맞춰야 한다.

멀리 어긋남

시간 이동은 통째로 좌우

x(t − t₀)는 신호 전체를 오른쪽으로 t₀ 만큼 민다. 빼기인데 오른쪽인 까닭은, t = t₀ 일 때 비로소 원래 t = 0 의 값이 나오기 때문이다. 즉 늦게 도착한다(지연). 반대로 x(t + t₀)는 왼쪽으로 당겨 미리 도착한다.

시간 스케일은 압축과 팽창

x(at)에서 a>1 이면 시간이 빨리 흘러 신호가 압축되고, 0<a<1 이면 팽창한다. 폭은 1/a 배가 된다. 시간축에 작용하는 양이 a 인데 결과 폭은 그 역수라는 점이 핵심이다.

관찰y(t) = x(t − t₀)

빼기 t₀ 는 오른쪽 이동(지연).

고르기y(t) = x(?)

a>1 은 압축, 폭은 1/a.

빈칸y(t) = x(?)

부호를 뒤집으면 좌우 반전.

스스로y(t) = x(?)

인수분해해 안쪽부터: 이동 후 스케일.

반전과 읽는 순서

x(−t)는 신호를 좌우로 뒤집는다. 이동과 스케일이 함께 오면 x(at − b)를 안쪽부터 읽는다. at − b = a(t − b/a)로 인수분해하면, 먼저 b/a 만큼 이동하고 그다음 a 로 스케일한 것과 같다. 괄호 안의 t 가 겪는 순서가 곧 신호가 겪는 순서다.

첫 화면으로 돌아가서

목표에 포개려면 폭은 a 로, 시작점은 b 로 맞춰야 했다. 변환된 신호의 시작점은 b/a 로, 폭은 1/a 로 옮겨졌다. 이것이 x(at − b)를 안쪽부터 읽는다는 말의 뜻이다. 괄호 안에서 t 가 먼저 이동하고 다음에 스케일되는 순서가, 화면에서 곡선이 움직인 순서 그대로였다.

독립변수에 가하는 연산은 시간축을 거꾸로 움직인다. 시간 이동 x(t − t₀)는 t₀>0 일 때 오른쪽(지연)으로, t₀<0 일 때 왼쪽으로 민다. 시간 스케일 x(at)는 |a|>1 이면 압축, |a|<1 이면 팽창하며 폭은 1/|a| 배다. 반전 x(−t)는 좌우를 뒤집는다. 결합형 x(at − b) = x(a(t − b/a)) 는 안쪽부터, 즉 b/a 이동 후 a 스케일로 읽는다.

다음 유닛으로

시간 이동과 반전은 다음 장에서 곧장 쓰인다. 합성곱은 임펄스 응답을 뒤집어(반전) 밀면서(이동) 겹치는 넓이를 더하는 연산이다. 시간 스케일은 샘플링과 주파수 스케일링에서 시간과 주파수가 서로 역수로 늘고 주는 관계로 다시 나타난다. 다음 유닛 우/기함수와 에너지 · 전력에서는 신호를 대칭과 크기로 가른다.