SC · 신호 기초

신호 연산

신호를 시간축에서 밀고, 늘이고, 뒤집는 세 연산이 독립변수 t에 어떻게 작용하는지 익힌다. 특히 이동과 스케일이 함께 들어간 x(at − b)를 어떤 순서로 읽어야 그림과 맞는지가 이 유닛의 핵심이에요.

두 슬라이더로 목표 파형에 포개기

흐린 회색 곡선이 원본 신호 x(t)로, t = 0에서 솟았다가 지수로 잦아드는 모양이다. 금색 점선이 맞춰야 할 목표이고, 배율 a와 이동 b를 움직이면 파란 곡선 y(t) = x(at − b)가 따라 변해요. 파란 곡선을 목표 위에 정확히 포개면 금색으로 바뀌는데, 그때의 a와 b를 찾는 것이 이 화면의 문제다.

원본 x목표

배율 a1.00

이동 b0.00

현재 변환

y(t) = x(1.00 t)

시작점도 폭도 목표와 다르다. a로는 폭을, b로는 시작 위치를 맞춰야 하는데, 시작점 b/a는 두 손잡이가 함께 정하니 한쪽만 움직여서는 잘 맞지 않아요.

멀리 어긋남

시간 이동은 통째로 좌우

x(t − t₀)는 신호 전체를 오른쪽으로 t₀만큼 민다. 빼기인데 오른쪽으로 가는 까닭은, t = t₀가 되어서야 원래 t = 0의 값이 나오기 때문이에요. 곧 신호가 늦게 도착하는 지연이고, 거꾸로 x(t + t₀)는 신호를 왼쪽으로 당겨 미리 도착하게 한다.

시간 스케일은 압축과 팽창

x(at)에서 a > 1이면 시간이 빨리 흘러 신호가 압축되고, 0 < a < 1이면 늘어나며, 폭은 1/a배가 된다. 시간축에 곱하는 양은 a인데 결과의 폭은 그 역수라는 점이 핵심이에요. 이 유닛의 원본은 시간 상수 1/1.4 ≈ 0.71로 잦아드니, a = 2이면 그 시간이 절반인 약 0.36으로 줄어든다.

관찰y(t) = x(t − t₀)

t₀를 빼면 오른쪽으로 이동(지연).

고르기y(t) = x(?)

a > 1이면 압축, 폭은 1/a.

빈칸y(t) = x(?)

부호를 뒤집으면 좌우 반전.

스스로y(t) = x(?)

a배 압축한 뒤 t₀만큼 오른쪽으로 민 것.

반전과 읽는 순서

x(−t)는 신호를 좌우로 뒤집는다. 이동과 스케일이 함께 오면 순서를 조심해야 하는데, at − b = a(t − b/a)로 묶어 보면 x(at − b)는 x(at)처럼 a배 압축한 신호를 b/a만큼 오른쪽으로 민 것과 같아요. 같은 결과를 b만큼 먼저 밀고 그다음 a배 압축해서 얻을 수도 있지만, b/a만큼 먼저 밀고 압축하면 시작점이 b/a²으로 가 버려 틀린다. 그림에서 시작점이 b/a, 폭이 1/a로 맞아떨어진 것도 이 때문이다.

첫 화면으로 돌아가서

목표에 포개려면 a와 b를 함께 맞춰야 했고, 맞춘 순간 파란 곡선의 시작점은 b/a = 1, 폭은 원본의 1/2이 되어 있었어요. 이것이 x(at − b)를 a배로 압축한 다음 b/a만큼 민 신호로 읽는다는 말의 뜻이다. 슬라이더 두 개는 따로 움직였지만, 시작점은 둘의 비 b/a가 정하고 폭은 a 하나가 정한다는 점이 화면에 그대로 드러났다.

독립변수에 가하는 연산은 시간축을 거꾸로 움직인다. 시간 이동 x(t − t₀)는 t₀ > 0이면 오른쪽(지연)으로, t₀ < 0이면 왼쪽으로 민다. 시간 스케일 x(at)는 |a| > 1이면 압축, |a| < 1이면 팽창이며 폭은 1/|a|배다. 반전 x(−t)는 좌우를 뒤집는다. 결합형 x(at − b) = x(a(t − b/a))는 a배 압축한 뒤 b/a만큼 미는 것, 또는 b만큼 민 뒤 a배 압축하는 것으로 읽는다.

다음 유닛으로

시간 이동과 반전은 다음 장에서 곧바로 쓰인다. 합성곱은 임펄스 응답을 뒤집고(반전) 밀면서(이동) 겹치는 넓이를 더하는 연산이에요. 시간 스케일은 샘플링과 주파수 스케일링에서 시간과 주파수가 서로 역수로 늘고 주는 관계로 다시 나타난다. 다음 유닛 신호의 짝·홀 분해에서는 신호를 대칭으로 가르고, 덤으로 크기를 에너지와 전력으로 잰다.