SC · LTI·합성곱

합성곱 직관

합성곱은 임펄스 응답을 뒤집어 한 시각으로 민 다음 입력과 곱해 겹친 넓이를 재는 일이다. 그 넓이가 그 시각의 출력이고, 슬라이드하면 출력 곡선 전체가 그려짐을 직접 본다.

뒤집어 밀고, 겹친 넓이를 읽기

위 그림은 고정된 입력 x(τ)와, 뒤집어 시각 t 로 민 응답 h(t−τ)다. 둘이 겹친 초록 넓이가 곧 출력 y(t)다. 아래는 그 출력 곡선이다. 슬라이드 위치 t 를 움직여 넓이가 언제 최대가 되는지 찾아라.

입력 x(τ)뒤집어 민 h(t−τ)겹친 넓이 = y(t)

출력 y(t)

슬라이드 위치 t-0.50

이 시각의 출력

y(-0.50) = 0.000

뒤집어 민 응답이 입력과 거의 안 겹친다. 곱이 거의 0 이라 넓이도, 출력도 0 에 가깝다.

겹침 적음

출력은 겹친 넓이다

한 시각 t 의 출력을 구하려면 네 단계를 밟는다. 응답을 뒤집고(h(−τ)), 시각 t 로 밀고(h(t−τ)), 입력과 곱하고(x(τ)·h(t−τ)), 그 곱을 적분한다. 곱이 0 이 아닌 구간이 곧 겹친 부분이고, 그 넓이가 y(t)다. 뒤집기·밀기·곱하기·적분하기, 이것이 합성곱의 전부다.

관찰y(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ

출력은 곱의 적분, 곧 겹친 넓이.

고르기y(t) = ∫ x(τ) ? dτ

적분 항은 입력 곱하기 뒤집어 민 응답.

빈칸y[n] = ?

이산에서는 적분이 합이 된다.

스스로y = x ?

합성곱은 별표로 적는다.

왜 뒤집는가

앞 유닛에서 시각 τ 의 입력 임펄스 x(τ)는 출력에 x(τ)·h(t−τ)를 남겼다. 지연이 t−τ 였기 때문이다. 시각 t 의 출력은 모든 τ 가 남긴 이 기여를 다 더한 것이라 y(t) = ∫ x(τ) h(t−τ) dτ. 적분 변수 τ 에 대해 h 의 인수가 t−τ 라 부호가 뒤집혀, 그림에서 h 가 좌우로 뒤집혀 보인다. 뒤집기는 지연의 자연스러운 결과다.

교환법칙과 이산 합성곱

합성곱은 교환법칙을 따른다. x ∗ h = h ∗ x 이므로 입력과 응답 중 어느 쪽을 뒤집어도 결과는 같다. 결합법칙도 성립해 직렬 연결된 시스템들을 하나로 합칠 수 있다. 이산 신호에서는 적분이 합으로 바뀌어 y[n] = Σ x[k] h[n−k]가 되고, 디지털 필터가 매 샘플에서 바로 이 합을 계산한다.

첫 화면으로 돌아가서

슬라이드 위치를 옮길 때마다 초록 넓이가 변했고, 그 넓이가 아래 출력 곡선의 그 시각 값과 정확히 같았다. 겹침이 거의 없을 때 출력은 0 에 가깝고, 겹침이 최대일 때 출력은 봉우리에 닿았다. 합성곱은 뒤집은 응답을 입력 위로 미끄러뜨리며 매 시각의 겹친 넓이를 모아 출력 곡선을 짓는 일이다. 임펄스 응답 하나와 이 한 가지 연산이면 LTI 시스템의 모든 출력을 계산할 수 있다.

합성곱 y(t) = (x ∗ h)(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ 는 네 동작이다. 응답을 뒤집고, 시각 t 로 밀고, 입력과 곱하고, 적분한다. 그 겹친 넓이가 출력 y(t)다. 합성곱은 교환·결합법칙을 따르고(x ∗ h = h ∗ x), 이산에서는 y[n] = Σ x[k] h[n − k] 다. LTI 시스템의 출력은 입력과 임펄스 응답의 합성곱이다.

다음 유닛으로

겹침의 그림을 손에 쥐었으니, 이제 숫자로 옮길 차례다. 다음 유닛 합성곱 계산에서는 사각 펄스 같은 간단한 신호의 합성곱을 구간별로 직접 적분해, 그림에서 본 봉우리와 꼬리가 어떤 식으로 나오는지 손으로 확인한다. 뒤집기·밀기·곱하기·적분하기의 네 동작이 구간을 나누는 한계점을 그대로 정한다.