합성곱 직관

뒤집어 밀고, 겹친 넓이를 읽기

위 그림의 금색 사각 펄스가 입력 x(τ)이고, 파란 곡선은 응답 h를 뒤집어 시각 t로 민 h(t − τ)다. 둘을 곱한 초록 넓이가 곧 출력 y(t)이고, 아래 그림이 그 출력 곡선이에요. 슬라이드 위치 t를 움직이며 넓이가 언제 가장 커지는지 살피면, 그 시각에 아래 곡선의 점도 봉우리에 닿는다.

출력은 겹친 넓이다

한 시각 t의 출력을 구하려면 네 단계를 밟는다. 응답을 뒤집고(h(−τ)), 시각 t로 밀고(h(t − τ)), 입력과 곱하고(x(τ)·h(t − τ)), 그 곱을 적분하는 것이에요. 곱이 0이 아닌 구간이 곧 겹친 부분이고 그 넓이가 y(t)이니, 뒤집기 · 밀기 · 곱하기 · 적분하기가 합성곱의 전부다.

왜 뒤집는가

앞 유닛에서 시각 τ의 입력 임펄스 x(τ)는 출력에 x(τ)·h(t − τ)를 남겼는데, 지연이 t − τ였기 때문이다. 시각 t의 출력은 모든 τ가 남긴 이 기여를 다 더한 것이라 y(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ가 돼요. 적분 변수 τ에 대해 h의 인수가 t − τ라 부호가 뒤집히므로, 그림에서 h가 좌우로 뒤집혀 보인다. 뒤집기는 지연에서 저절로 나오는 결과다.

교환법칙과 이산 합성곱

합성곱은 교환법칙을 따른다. x ∗ h = h ∗ x이므로 입력과 응답 가운데 어느 쪽을 뒤집어도 결과는 같아요. 결합법칙도 성립해 직렬로 이어진 시스템들을 하나로 합칠 수 있다. 이산 신호에서는 적분이 합으로 바뀌어 y[n] = Σ x[k] h[n − k]가 되고, 디지털 필터는 샘플마다 바로 이 합을 계산한다.

첫 화면으로 돌아가서

슬라이드 위치를 옮길 때마다 초록 넓이가 변했고, 그 넓이는 아래 출력 곡선의 그 시각 값과 정확히 같았어요. 겹침이 거의 없을 때 출력은 0에 가까웠고, 겹침이 가장 큰 t = 1 근처에서 출력은 봉우리에 닿았다. 합성곱은 뒤집은 응답을 입력 위로 미끄러뜨리며 시각마다 겹친 넓이를 모아 출력 곡선을 짓는 일이다. 임펄스 응답 하나와 이 연산 하나면 LTI 시스템의 모든 출력을 계산할 수 있다.

겹침의 그림을 손에 쥐었으니 이제 숫자로 옮길 차례예요. 다음 유닛 합성곱 계산에서는 사각 펄스 같은 간단한 신호의 합성곱을 구간별로 직접 적분해, 그림에서 본 봉우리와 꼬리가 어떤 식에서 나오는지 손으로 확인한다. 이 유닛의 그림이라면 0 ≤ t ≤ 1에서는 y = (1 − e^−1.5t)/1.5로 차오르고, t > 1에서는 지수로 잦아든다. 뒤집기 · 밀기 · 곱하기 · 적분하기의 네 동작이 구간을 나누는 경계를 그대로 정한다.