대역폭과 필터링

통과대를 목표 띠에 맞추기

흐린 평평한 선이 모든 주파수가 고르게 든 입력 스펙트럼이고, 파란 모양이 필터를 곱한 출력이라 통과대만 살아남는다. 금색 점선 띠가 목표인 2.5 ~ 5 구간이에요. 필터 종류 버튼과 컷오프 슬라이더로 통과대를 그 띠에 정확히 맞추면 되는데, 이 그림의 필터는 통과대 안에서 정확히 1, 밖에서 정확히 0인 이상적인 필터다.

거르기는 곱하기다

C4의 합성곱 정리가 필터링의 토대다. 시스템에 신호를 통과시키는 것은 시간 영역에서는 합성곱이지만, 주파수 영역에서는 신호 스펙트럼 X(ω)에 필터 응답 H(ω)를 점마다 곱하는 일이에요. H가 1에 가까운 통과대의 주파수 성분은 그대로 살아남고, H가 0에 가까운 차단대의 성분은 사라진다. 그래서 필터의 크기선도 모양만 보면 어떤 주파수가 남고 어떤 주파수가 잘릴지 곧바로 알 수 있다.

대역폭은 통과대의 폭

대역폭은 통과대가 얼마나 넓은지를 뜻하며, 보통 크기가 −3 dB로 떨어지는 두 점 사이의 폭으로 잰다. 저역통과라면 0부터 컷오프 ωc까지가 대역폭이에요. 대역폭이 좁을수록 더 적은 주파수만 골라 통과시켜 선택성이 높아지지만, C3의 역수 관계 때문에 시간 영역에서는 응답이 느려지고 자리 잡는 데 오래 걸린다. 빠른 신호를 다루려면 넓은 대역폭이, 잡음을 좁게 걸러 내려면 좁은 대역폭이 필요하니 둘은 맞바꿈 관계다.

네 가지 필터

필터는 통과대가 어디 있느냐로 네 가지다. 저역통과는 낮은 주파수를, 고역통과는 높은 주파수를 통과시키고, 대역통과는 가운데 한 띠만 통과시키며, 대역저지는 가운데 한 띠만 막아요. 방금 목표 띠를 맞추는 답은 가운데만 통과시키는 대역통과였다. 그림의 필터는 경계에서 1과 0 사이를 단번에 건너는 이상적인 모양이지만, 실제 필터에는 통과대와 차단대 사이에 비스듬한 전이대가 있고 차수 n이 높을수록 전이가 −20n dB/dec로 가팔라진다. 모양만 다를 뿐 모두 스펙트럼에 곱해 원하는 주파수만 남기는 같은 원리다.

첫 화면으로 돌아가서

목표 띠를 맞추려면 가운데만 통과시키는 대역통과를 고르고, 컷오프로 그 띠의 자리를 정해야 했어요. 평평하던 입력 스펙트럼에 필터를 곱하자 통과대 안의 주파수만 남고 바깥은 잘려 나갔으며, 살아남은 띠의 폭이 대역폭이었다. 필터링은 결국 스펙트럼에 필터의 모양을 곱하는 연산 한 번이고, 저역 · 고역 · 대역통과 · 대역저지는 통과대를 어디에 두느냐의 차이일 뿐이다. C4의 합성곱은 곱셈이라는 성질이 여기서 실전 도구가 되었다.

푸리에의 방법으로는 시스템이 정상 상태의 정현파를 어떻게 다루는지, 곧 ω 축 위의 행동을 읽었다. 하지만 시스템이 켜진 직후의 과도 응답이나 불안정한 발산은 순수한 정현파만으로 담기 어려워요. 다음 유닛 라플라스 변환에서는 주파수 jω를 복소수 s = σ + jω로 넓히는데, σ가 더해지면 커지거나 잦아드는 지수까지 함께 다룰 수 있어 과도 응답과 안정성이 한 평면 위 극과 영점의 위치로 한눈에 드러난다. B4에서 본 a < 0 안정 조건도 그 s 평면에서 다시 만난다.