대역폭과 필터링

통과대를 목표 띠에 맞추기

흐린 평평한 선이 모든 주파수를 담은 입력 스펙트럼이다. 파란 모양이 필터를 곱한 출력으로, 통과대만 살아남는다. 골드 점선 띠가 목표다. 필터 종류 버튼과 컷오프 슬라이더로 통과대를 그 띠에 정확히 맞춰라.

거르기는 곱하기다

C4 의 합성곱 정리가 필터링의 토대다. 시스템에 신호를 통과시키는 것은 시간 영역의 합성곱이지만, 주파수 영역에서는 신호 스펙트럼 X(ω)에 필터 응답 H(ω)를 점마다 곱하는 일이다. H 가 1 에 가까운 통과대의 주파수 성분은 그대로 살아남고, H 가 0 에 가까운 차단대의 성분은 사라진다. 그래서 필터의 크기선도 모양만 보면 어떤 주파수가 남고 어떤 주파수가 잘릴지 곧바로 안다.

대역폭은 통과대의 폭

대역폭은 통과대가 얼마나 넓은지, 보통 크기가 −3dB 로 떨어지는 두 점 사이의 폭으로 잰다. 저역통과라면 0 부터 컷오프 ωc 까지가 대역폭이다. 대역폭이 좁을수록 더 적은 주파수만 골라 통과시켜 선택성이 높아지지만, C3 의 역수 관계 때문에 시간 영역에서는 응답이 느려지고 정착이 길어진다. 빠른 신호를 다루려면 넓은 대역폭이 필요하고, 잡음을 좁게 걸러내려면 좁은 대역폭이 필요하다. 둘은 맞바꿈 관계다.

네 가지 필터

필터는 통과대가 어디 있느냐로 네 가지다. 저역통과는 낮은 주파수를, 고역통과는 높은 주파수를 통과시키고, 대역통과는 가운데 한 띠만, 대역저지는 가운데 한 띠만 막는다. 방금 목표 띠를 맞추려면 가운데만 통과시키는 대역통과가 답이었다. 실제 필터는 통과대와 차단대 사이에 비스듬한 전이대가 있고, 차수가 높을수록 그 전이가 가팔라져 −20dB/십배의 배수로 떨어진다. 모양만 다를 뿐, 모두 스펙트럼에 곱해 원하는 주파수만 남기는 같은 원리다.

첫 화면으로 돌아가서

목표 띠를 맞추려면 가운데만 통과시키는 대역통과를 고르고, 컷오프로 그 띠의 위치를 정해야 했다. 평평하던 입력 스펙트럼에 필터를 곱하자 통과대 안 주파수만 남고 바깥은 잘려 나갔다. 살아남은 띠의 폭이 대역폭이었다. 필터링은 결국 스펙트럼에 필터의 모양을 곱하는 한 번의 연산이고, 저역·고역·대역·대역저지는 그 통과대를 어디에 두느냐의 차이일 뿐이다. C4 의 합성곱은 곱셈이라는 성질이 여기서 실전 도구가 되었다.

푸리에는 시스템이 정상 상태의 정현파를 어떻게 다루는지, 곧 ω 축 위의 행동을 보여 주었다. 하지만 시스템이 켜진 직후의 과도 응답이나 불안정한 발산은 순수한 정현파만으로는 담기 어렵다. 다음 장 라플라스 변환과 전달함수에서는 주파수 jω 를 복소수 s = σ + jω 로 넓힌다. σ 가 더해지면 커지거나 잦아드는 지수까지 함께 다룰 수 있어, 과도 응답과 안정성이 한 평면 위 극과 영점의 위치로 한눈에 드러난다. B4 에서 본 a<0 안정 조건이 그 s 평면에서 다시 만난다.