SC · LTI·합성곱

계단 응답

시스템에 단위 계단을 넣으면 나오는 출력이 계단 응답이다. 그것이 임펄스 응답을 누적 적분한 것임을, 그리고 안정한 시스템에서는 유한한 최종값에 정착함을 직접 본다.

s 가 최종값에 정착하는가

위는 임펄스 응답 h(τ)이고, 슬라이드 시각 t 까지의 초록 넓이가 그 시각의 계단 응답 s(t)다. 아래는 그 s(t) 곡선이다. t 를 키워 s 가 봉우리를 넘어 점선 최종값에 정착하는 것을 보라.

임펄스 응답 h(τ)

계단 응답 s(t) = 누적 넓이최종값 s(∞)

시각 t0.30

현재 값과 최종값

s(0.30) = 0.105  s(∞) = 0.311

아직 이른 시각이다. 누적 넓이가 막 쌓이기 시작해 s 가 최종값보다 한참 아래에 있다. 출력이 응답하는 과도 구간이다.

정착 전

계단을 넣으면 임펄스 응답이 쌓인다

단위 계단 u(t)는 임펄스를 왼쪽부터 t 까지 누적한 것이었다(A2). 시스템이 LTI 라 입력의 적분에는 출력도 적분으로 답한다. 그래서 계단 응답은 임펄스 응답을 똑같이 누적한 것, s(t) = ∫₀ᵗ h(τ) dτ 다. 화면의 초록 넓이가 매 시각 정확히 이 값을 그린다.

관찰s(t) = ∫ h(τ) dτ

계단 응답은 임펄스 응답의 누적.

고르기h(t) = ?

계단 응답을 미분하면 임펄스 응답.

빈칸s(∞) = ?

최종값은 h 의 총 넓이.

스스로s = h ?

계단 응답은 h 와 계단의 합성곱.

s 와 h 는 적분·미분 짝

누적이 적분이니, 거꾸로 계단 응답을 미분하면 임펄스 응답이 돌아온다. h(t) = ds/dt 다. 실무에서는 임펄스를 정확히 만들기 어렵지만 계단은 쉽게 만들 수 있어서, 계단 응답을 측정해 미분하는 방식으로 임펄스 응답을 얻는다. 임펄스와 계단이 A2 에서 한 쌍이었듯, 두 응답도 한 쌍이다.

최종값은 DC 이득

안정한 시스템에서 h 는 0 으로 잦아들므로 누적 넓이가 멈춰 s 가 유한한 최종값에 정착한다. 그 값 s(∞) = ∫₀^∞ h(τ) dτ 는 일정한 입력(DC)에 대한 출력 크기, 곧 DC 이득이다. 정착하기까지의 상승 시간, 오버슈트, 정착 시간은 모두 이 계단 응답에서 읽는 실무 지표이고, 제어 설계에서 다시 자세히 다룬다.

첫 화면으로 돌아가서

h 의 양의 마루가 더해질 때 s 는 빠르게 올라 최종값을 넘었고, 뒤이어 음의 골이 더해지며 진동하다, h 가 0 으로 잦아들자 정착했다. 슬라이드 시각까지의 초록 넓이가 매 순간 정확히 s(t)였다. 계단 응답은 임펄스 응답을 한 번 적분한 것이고, 미분하면 다시 h 로 돌아온다. 정착한 그 값이 DC 이득이다. 이렇게 하나의 임펄스 응답으로 LTI 시스템의 시간 영역 그림이 완성된다.

계단 응답 s(t)는 단위 계단 u(t)를 넣었을 때 LTI 시스템이 내는 출력이며, 임펄스 응답의 누적 적분이다. s(t) = ∫₀ᵗ h(τ) dτ = (h ∗ u)(t), 거꾸로 h(t) = ds/dt. 안정한 시스템에서 s 는 유한한 최종값 s(∞) = ∫₀^∞ h(τ) dτ, 곧 DC 이득에 정착한다. 상승 시간 · 오버슈트 · 정착 시간이 모두 s 에서 읽히는 실무 지표다.

다음 장으로

여기까지 LTI 시스템을 시간 영역에서 완전히 그렸다. 임펄스 응답 하나와 합성곱이면 어떤 입력의 출력도 안다. 하지만 합성곱은 손이 많이 간다. 다음 장 푸리에에서는 신호를 정현파의 합으로 보는 새 관점을 연다. LTI 시스템에 정현파를 넣으면 같은 주파수의 정현파가 크기와 위상만 바뀌어 나오기에, 시간 영역의 번거로운 합성곱이 주파수 영역의 단순한 곱셈으로 바뀐다. 그 출발점이 다음 유닛 푸리에 급수다.