SC · LTI·합성곱

계단 응답

시스템에 단위 계단을 넣었을 때 나오는 출력이 계단 응답이다. 그것이 임펄스 응답을 누적 적분한 것이라는 점과, 안정한 시스템에서는 유한한 최종값에 자리 잡는다는 점을 직접 확인해요.

s가 최종값에 자리 잡는가

위 그림은 임펄스 응답 h(τ) = e^(−0.8τ) sin 3τ이고, 0부터 슬라이드 시각 t까지의 초록 넓이가 그 시각의 계단 응답 s(t)다. 아래 그림이 그 s(t) 곡선이에요. t를 키워 가면 s가 봉우리를 넘었다가 내려와 점선의 최종값 약 0.311에 자리 잡는다.

임펄스 응답 h(τ)

계단 응답 s(t) = 누적 넓이최종값 s(∞)

시각 t0.30

현재 값과 최종값

s(0.30) = 0.105  s(∞) = 0.311

아직 이른 시각이라 h의 첫 마루가 쌓이며 s가 빠르게 오른다. s는 0에서 출발해 t ≈ 0.6에서 이미 최종값을 지나지만 아직 멈출 기미가 없는, 출력이 자리를 찾아가는 과도 구간이에요.

정착 전

계단을 넣으면 임펄스 응답이 쌓인다

단위 계단 u(t)는 임펄스를 왼쪽부터 t까지 쌓은 것이었다(A2). 시스템이 LTI라 입력을 적분하면 출력도 적분으로 답하므로, 계단 응답은 임펄스 응답을 똑같이 쌓은 s(t) = ∫₀ᵗ h(τ) dτ가 돼요. 화면의 초록 넓이가 시각마다 정확히 이 값을 그린다.

관찰s(t) = ∫ h(τ) dτ

계단 응답은 임펄스 응답의 누적.

고르기h(t) = ?

계단 응답을 미분하면 임펄스 응답.

빈칸s(∞) = ?

최종값은 h의 총넓이.

스스로s = h ?

계단 응답은 h와 계단의 합성곱.

s와 h는 적분 · 미분 짝

쌓는 것이 적분이니 거꾸로 계단 응답을 미분하면 임펄스 응답이 돌아오고, h(t) = ds/dt다. 실무에서는 임펄스를 정확히 만들기 어렵지만 계단은 쉽게 만들 수 있어서, 계단 응답을 재서 미분하는 방식으로 임펄스 응답을 얻어요. 임펄스와 계단이 A2에서 한 쌍이었듯 두 응답도 한 쌍이다.

최종값은 DC 이득

안정한 시스템에서는 h가 0으로 잦아드니 누적 넓이도 멈추고, s가 유한한 최종값에 자리 잡는다. 그 값 s(∞) = ∫₀^∞ h(τ) dτ는 일정한 입력(DC)에 대한 출력의 크기, 곧 DC 이득이에요. 이 그림에서는 ∫₀^∞ e^(−0.8τ) sin 3τ dτ = 3/(0.8² + 3²) ≈ 0.311이고, 봉우리 0.446은 그보다 약 43% 높은 오버슈트다. 상승 시간 · 오버슈트 · 정착 시간은 모두 이 계단 응답에서 읽는 실무 지표이며, 제어 설계에서 다시 자세히 다룬다.

첫 화면으로 돌아가서

h의 양의 마루가 더해질 때 s는 빠르게 올라 최종값을 넘었고, 뒤이어 음의 골이 더해지며 출렁이다가 h가 0으로 잦아들자 자리 잡았어요. 슬라이드 시각까지의 초록 넓이가 매 순간 정확히 s(t)였다. 계단 응답은 임펄스 응답을 한 번 적분한 것이고 미분하면 다시 h로 돌아오며, 자리 잡은 그 값이 DC 이득이다. 이렇게 임펄스 응답 하나로 LTI 시스템의 시간 영역 그림이 완성된다.

계단 응답 s(t)는 단위 계단 u(t)를 넣었을 때 LTI 시스템이 내는 출력이며, 임펄스 응답의 누적 적분이다. s(t) = ∫₀ᵗ h(τ) dτ = (h ∗ u)(t)이고 거꾸로 h(t) = ds/dt다. 안정한 시스템에서 s는 유한한 최종값 s(∞) = ∫₀^∞ h(τ) dτ, 곧 DC 이득에 자리 잡는다. 상승 시간 · 오버슈트 · 정착 시간이 모두 s에서 읽히는 실무 지표다.

다음 장으로

여기까지 LTI 시스템을 시간 영역에서 완전히 그렸다. 임펄스 응답 하나와 합성곱이면 어떤 입력의 출력도 알 수 있지만, 합성곱은 손이 많이 가요. 다음 장 푸리에에서는 신호를 정현파의 합으로 보는 새 관점을 연다. LTI 시스템에 정현파를 넣으면 같은 주파수의 정현파가 크기와 위상만 바뀌어 나오므로, 시간 영역의 번거로운 합성곱이 주파수 영역의 단순한 곱셈으로 바뀐다. 그 출발점이 다음 유닛 푸리에 급수다.