SC · 제어

근궤적

닫힌 루프 극은 이득 K 가 0 에서 무한대로 커지는 동안 s 평면 위에 한 줄기 길을 그린다. 그 길이 근궤적이다. 극은 열린 루프 극에서 출발해 영점(또는 무한대)으로 향하며, 길을 따라가면 어디서 불안정해지고 어느 K 에서 원하는 감쇠를 얻는지가 한눈에 보인다. K 를 움직여 극을 목표 감쇠선 위에 올려 본다.

K 를 키워 극을 목표 감쇠선에 올리기

F1 과 같은 플랜트 K/(s(s+1)(s+2)) 다. 파란 곡선이 닫힌 루프 극이 그리는 근궤적이고, 금색 ×가 지금 이득 K 에서의 극이다. 주황 점선은 목표 감쇠비 ζ = 0.5 선이다. K 가 작으면 극이 실수축 위에 흩어진 과감쇠다. K 를 키우면 두 극이 실수축에서 만나 갈라져(이탈점) 복소 한 쌍으로 위아래로 휘어 오른다. 그 복소 극을 주황 ζ = 0.5 선 위에 정확히 올려 보라. 더 키우면 K = 6 에서 극이 허수축을 넘어 불안정해진다.

s 평면 (파란 선 = 근궤적, × = 현재 극)

이득 K0.30

이득과 지배 극

K = 0.30 · s = -0.21 (real)

ζ = 1.00 → 0.50

이득이 작아 극이 아직 실수축 위에 있거나 거의 감쇠만 한다. 응답이 느리고 진동이 없는 과감쇠 영역이다. K 를 키우면 두 극이 이탈점에서 만나 복소 한 쌍으로 갈라지며 더 빨라진다.

목표 감쇠에서 멂

극이 그리는 길

단위 피드백 시스템의 닫힌 루프 극은 1 + K·G(s) = 0 의 근이다. 여기서 G(s) = N(s)/D(s) 는 열린 루프 전달함수다. 식을 정리하면 D(s) + K·N(s) = 0 이라, 이득 K 가 변할 때마다 근이 달라진다. K = 0 이면 D(s) = 0, 곧 닫힌 루프 극이 열린 루프 극에서 출발한다. K 가 무한대로 가면 N(s) = 0 이 지배해 극이 열린 루프 영점으로 모인다. 영점이 모자라면 남는 가지는 무한대로 뻗어 나간다. 이렇게 K 를 0 부터 무한대까지 쓸 때 근이 그리는 자취 전체가 근궤적이다.

관찰as K: 0 → ∞, poles go to zeros

궤적은 극에서 시작해 영점에서 끝난다.

고르기closed-loop poles solve 1 + K G(s) = ?

닫힌 루프 극은 1+KG=0 의 근.

빈칸locus crosses jω at K = ?

허수축 교차는 라우스의 K=6.

스스로choose K where locus meets the ?

원하는 ζ 선과 궤적의 교점에서 K 를 고른다.

길을 읽는 법

근궤적은 몇 가지 규칙으로 손으로도 스케치한다. 실수축 위에서는, 그 점의 오른쪽에 있는 열린 루프 극과 영점의 개수가 홀수인 구간에만 궤적이 있다. 이 예에서는 0 과 −1 사이, 그리고 −2 의 왼쪽이다. 0 과 −1 에서 출발한 두 가지는 서로 다가오다 이탈점에서 만나 실수축을 떠나 복소 한 쌍이 된다. 영점이 없으니 세 가지 모두 무한대로 가는데, 그 방향은 실수축과 ±60°, 180° 를 이루는 점근선이다. 그리고 어떤 K 에서 복소 가지가 허수축을 가로지르면 거기서부터 불안정이다. 그 교차 이득과 주파수는 F1 의 라우스로 정확히 K = 6, s = ±j√2 였다. 근궤적과 라우스가 같은 경계를 가리킨다.

극을 배치해 응답을 설계하기

근궤적의 진짜 쓸모는 설계다. D5 에서 보았듯 2차계의 과도 응답은 지배적 극의 위치, 곧 감쇠비 ζ 와 고유진동수 ωn 이 정한다. s 평면에서 원점을 지나는 한 직선은 일정한 ζ 를 뜻한다(실수축과 이루는 각의 코사인이 ζ). 그래서 원하는 ζ 의 직선을 긋고, 그 직선이 근궤적과 만나는 점을 찾으면, 그 점을 만드는 이득 K 가 곧 설계 값이다. 첫 화면에서 한 일이 바로 이것이다. 다만 여기에는 보이지 않는 셋째 극이 함께 움직이므로, 지배적 복소 극이 응답을 주도하려면 셋째 극이 충분히 왼쪽에 있어야 한다는 점도 같이 확인한다. 비례 이득만으로 부족하면, 뒤에 나올 보상기가 궤적 자체를 원하는 모양으로 구부린다.

첫 화면으로 돌아가서

F1 과 같은 플랜트의 닫힌 루프 극이, 이득 K 가 커지는 동안 s 평면에 그리는 길을 따라갔다. K 가 작을 때는 극이 실수축에 흩어진 과감쇠였고, K 를 키우자 두 극이 이탈점에서 만나 복소 한 쌍으로 갈라져 위아래로 휘어 올랐다. 그 복소 극을 주황 ζ = 0.5 선 위에 올리면 빠르기와 넘침이 균형 잡힌 설계 이득이 나왔다. 더 키우자 극이 K = 6 에서 허수축을 넘어 불안정해졌는데, 바로 F1 에서 라우스로 구한 그 경계였다. 라우스가 안정의 경계 한 점을 숫자로 줬다면, 근궤적은 이득이 그리는 길 전체를 보여 주어 안정뿐 아니라 응답의 모양까지 설계하게 했다.

근궤적은 이득 K 가 0→∞ 일 때 닫힌 루프 극(1 + K·G(s) = 0 의 근)이 s 평면에 그리는 길이다. K=0 에서 열린 루프 극에서 출발해 K→∞ 에서 열린 루프 영점(또는 무한대 · ±60°,180° 점근선)으로 간다. 실수축 궤적은 오른쪽 극·영점 수가 홀수인 구간, 두 가지가 만나 갈라지는 이탈점에서 복소가 된다. 허수축 교차 = 불안정 경계로, 이 예에선 F1 의 라우스와 같은 K = 6, s = ±j√2. 원점을 지나는 직선은 일정 감쇠비 ζ(각의 코사인)라, 원하는 ζ 선과 궤적의 교점에서 설계 이득 K 를 읽는다.

다음 유닛으로

근궤적은 s 평면에서 극을 직접 배치하는 시간 영역의 설계 도구다. 그런데 실제 시스템은 정확한 전달함수를 모를 때가 많고, 대신 여러 주파수의 사인파를 넣어 응답을 재 본다. 다음 유닛 보드선도에서는 주파수에 따른 이득과 위상을, 로그 축 위에 직선들의 합으로 그린다. 극과 영점 하나하나가 꺾은선 한 마디씩으로 나타나, 복잡한 전달함수의 주파수 응답을 손으로 스케치하고 또 측정 데이터에서 거꾸로 읽어 낼 수 있다. 근궤적이 극의 위치로 응답을 봤다면, 보드선도는 주파수로 같은 시스템을 본다.