SC · 제어

근궤적

이득 K가 0에서 무한대로 커지는 동안 닫힌 루프 극은 s 평면 위에 한 줄기 길을 그리는데, 이 길이 근궤적이다. 극은 열린 루프 극에서 출발해 열린 루프 영점(영점이 없으면 무한대)으로 향하고, 그 길을 따라가면 어디서 불안정해지는지, 어느 K에서 원하는 감쇠를 얻는지가 한눈에 들어온다. K를 움직여 극을 목표 감쇠선 위에 올리며 이 과정을 이 강에서 확인해요.

K 를 키워 극을 목표 감쇠선에 올리기

F1 유닛과 같은 플랜트 K/(s(s + 1)(s + 2))다. 위 그림의 회색 점 세 개(0, −1, −2)가 열린 루프 극, 곧 K = 0일 때의 출발점이고, 파란 선이 닫힌 루프 극이 그리는 근궤적, 금색 ×가 지금 이득 K에서의 세 극이에요. 주황 점선은 감쇠비 ζ = 0.5인 선으로, 음의 실수축과 60°를 이룬다. 처음 K = 0.3에서는 세 극이 모두 실수축 위에 있는 과감쇠이고, K를 키우면 0과 −1에서 출발한 두 극이 약 −0.42의 이탈점(K ≈ 0.385)에서 만난 뒤 복소 한 쌍으로 갈라져 위아래로 휘어 오른다. 그 복소 극은 K ≈ 1.04에서 주황 선 위에 올라오고, 더 키우면 K = 6에서 허수축을 넘어 불안정해져요.

s 평면 (파란 선 = 근궤적, × = 현재 극)

이득 K0.30

이득과 지배 극

K = 0.30 · s = -0.21 (실수)

ζ = 1.00 → 0.50

이득이 작아 극이 아직 실수축 위에 있거나, 복소 한 쌍이 되었어도 감쇠비가 커서(ζ > 0.65) 거의 감쇠만 한다. 응답이 느리고 진동이 거의 없는 영역이에요. K를 키우면 두 극이 이탈점에서 만나 복소 한 쌍으로 갈라지며 응답이 빨라진다.

목표 감쇠에서 멂

극이 그리는 길

단위 피드백 시스템의 닫힌 루프 극은 1 + K·G(s) = 0의 근이고, 여기서 G(s) = N(s)/D(s)는 열린 루프 전달함수다. 식을 정리하면 D(s) + K·N(s) = 0이라, 이득 K가 바뀔 때마다 근도 달라진다. K = 0이면 D(s) = 0이므로 닫힌 루프 극은 열린 루프 극에서 출발하고, K가 무한대로 가면 N(s) = 0이 지배해 극이 열린 루프 영점으로 모여요. 영점이 모자라면 남는 가지는 무한대로 뻗어 나간다. 이렇게 K를 0부터 무한대까지 쓸어 갈 때 근이 그리는 자취 전체가 근궤적이다.

관찰K: 0 → ∞ 일 때 극이 향하는 곳 영점

궤적은 열린 루프 극에서 시작해 영점(또는 무한대)에서 끝난다.

고르기닫힌 루프 극의 조건 1 + K G(s) = ?

닫힌 루프 극은 1 + K·G(s) = 0의 근이다.

빈칸궤적이 허수축과 만나는 이득 K = ?

허수축과 만나는 이득은 라우스로 구한 K = 6이다.

스스로K 를 고르는 곳: 궤적과 ?의 교점

원하는 ζ 선과 궤적이 만나는 점에서 K를 고른다.

길을 읽는 법

근궤적은 몇 가지 규칙만 알면 손으로도 스케치할 수 있다. 실수축 위에서는 그 점의 오른쪽에 있는 열린 루프 극과 영점의 개수가 홀수인 구간에만 궤적이 있으며, 이 예에서는 0과 −1 사이, 그리고 −2의 왼쪽이 그렇다. 0과 −1에서 출발한 두 가지는 서로 다가오다 이탈점(약 −0.42)에서 만나 실수축을 떠나 복소 한 쌍이 돼요. 영점이 없으니 세 가지 모두 무한대로 가는데, 그 방향은 실수축 위 −1에서 뻗어 나가 실수축과 ±60°, 180°를 이루는 점근선이다. 어떤 K에서 복소 가지가 허수축을 가로지르면 거기서부터 불안정하고, 그 교차 이득과 주파수는 F1 유닛의 라우스로 구한 K = 6, s = ±j√2와 정확히 같다. 근궤적과 라우스가 같은 경계를 가리키는 셈이다.

극을 배치해 응답을 설계하기

근궤적의 진짜 쓸모는 설계다. D5 유닛에서 보았듯이 이차계의 과도 응답은 지배적 극의 위치, 곧 감쇠비 ζ와 고유진동수 ωn이 정한다. s 평면에서 원점을 지나는 한 직선은 일정한 ζ를 뜻하는데, 그 직선이 음의 실수축과 이루는 각의 코사인이 ζ예요. 그래서 원하는 ζ의 직선을 긋고 그 직선이 근궤적과 만나는 점을 찾으면 그 점을 만드는 이득 K가 곧 설계 값이 되며, 첫 화면에서 한 일이 바로 이것이다. 다만 이 시스템에는 셋째 극이 함께 움직이므로, 지배적 복소 극이 응답을 주도하려면 셋째 극이 충분히 왼쪽에 있어야 한다는 점도 함께 확인한다(K ≈ 1.04에서 셋째 극 −2.33은 복소 극 실수부 −0.33의 7배쯤 왼쪽). 비례 이득만으로 부족하면 뒤에 나올 보상기가 궤적 자체를 원하는 모양으로 구부린다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서는 F1 유닛과 같은 플랜트의 닫힌 루프 극이 이득 K가 커지는 동안 s 평면에 그리는 길을 따라갔다. K가 작을 때는 극이 실수축 위에 흩어진 과감쇠였고, K를 키우자 두 극이 이탈점에서 만나 복소 한 쌍으로 갈라져 위아래로 휘어 올랐어요. 그 복소 극을 주황 ζ = 0.5 선 위에 올리자 빠르기와 넘침이 균형을 이루는 설계 이득이 나왔다. 더 키우자 극이 K = 6에서 허수축을 넘어 불안정해졌는데, 바로 F1 유닛에서 라우스로 구한 그 경계였다. 라우스가 안정의 경계 한 점을 숫자로 짚었다면, 근궤적은 이득이 그리는 길 전체를 펼쳐 안정뿐 아니라 응답의 모양까지 설계할 수 있게 했다.

근궤적은 이득 K가 0 → ∞로 커질 때 닫힌 루프 극(1 + K·G(s) = 0의 근)이 s 평면에 그리는 길이다. K = 0에서는 열린 루프 극에서 출발해 K → ∞에서 열린 루프 영점(영점이 없으면 무한대로, 여기서는 ±60°, 180° 점근선)으로 간다. 실수축 위 궤적은 오른쪽에 있는 극과 영점의 수가 홀수인 구간에 있고, 두 가지가 만나 갈라지는 이탈점에서 복소가 된다. 허수축 교차 = 불안정 경계로, 이 예에서는 F1 유닛의 라우스와 같은 K = 6, s = ±j√2다. 원점을 지나는 직선은 일정한 감쇠비 ζ(음의 실수축과 이루는 각의 코사인)여서, 원하는 ζ 선과 궤적의 교점에서 설계 이득 K를 읽어요.

다음 유닛으로

근궤적은 s 평면에서 극을 직접 배치하는 설계 도구였다. 그런데 실제 시스템은 정확한 전달함수를 모를 때가 많아서, 대신 여러 주파수의 사인파를 넣어 주파수 응답을 재 본다. 다음 유닛 이득여유와 위상여유에서는 같은 플랜트의 열린 루프 보드 선도 위에서, 안정한 시스템이 불안정까지 얼마나 남았는지를 두 여유로 읽어요. 위상이 −180°가 되는 주파수 √2 rad/s에서 이득이 0 dB까지 남은 크기가 이득여유인데, K = 6에서 그 여유가 0이 되니 근궤적이 허수축을 건너는 바로 그 점과 같다. 근궤적이 극의 위치로 본 경계가 보드 선도에서는 주파수 축 위에 다시 나타난다.