SC · 제어

나이퀴스트 선도

안정성을 −1 이라는 한 점과의 관계로 본다. 열린 루프 L(jω) 를 주파수 ω 를 따라 복소평면에 그리면 한 곡선이 되고, 그 곡선이 −1 점을 감싸는 횟수가 닫힌 루프의 우반면 극 수를 말해 준다. 이득 K 를 움직여, 곡선이 −1 의 오른쪽을 지나다 −1 을 지나 왼쪽으로 감싸는 것을 직접 본다.

곡선이 −1 을 감싸는지 보기

F1·F2·F3 와 같은 열린 루프 L(jω) = K/(jω(jω+1)(jω+2)) 를 복소평면에 그린 나이퀴스트 선도다. 주파수 ω 를 따라 한 점이 움직이며 금색 곡선을 그린다. 빨간 ×가 −1 점이다. 이 곡선이 음의 실수축을 지나는 곳이 −K/6 인데, 위상이 −180° 가 되는 ω=√2 에서다. 이득 K 를 키우면 곡선이 통째로 커져 그 교차점이 왼쪽으로 밀려난다. 교차점이 −1 의 오른쪽이면(K<6) −1 을 감싸지 않아 안정, 정확히 −1 을 지나면(K=6) 임계, 왼쪽으로 넘어가면(K>6) −1 을 감싸 불안정이다.

복소평면 (× = −1, 곡선 = L(jω))

이득 K8.0

−1 과의 관계

K = 8.0 · crossing = -1.33 · GM = 0.75×

N = 2 · Z = 2 (P = 0)

곡선이 음의 실수축을 −1 의 왼쪽(−K/6 < −1)에서 지나며 −1 점을 감싼다. 나이퀴스트 판정에서 이 감쌈은 닫힌 루프의 우반면 극으로 세어진다. 전체 곡선이 −1 을 두 번 감싸 우반면 극이 두 개, 곧 F1 의 라우스 부호 변화 둘, F2 의 복소 극 한 쌍과 같은 불안정이다.

불안정 (−1 감쌈)

루프를 복소평면에 그리다

보드선도는 열린 루프 L(jω) 의 크기와 위상을 주파수에 따라 따로 그렸다. 나이퀴스트 선도는 그 둘을 한 그림에 합친다. 각 주파수 ω 에서 L(jω) 는 크기와 위상을 가진 복소수 하나이니, 그것을 복소평면의 한 점으로 찍는다. ω 를 0 에서 무한대까지(그리고 대칭으로 음의 ω 까지) 쓸면 점이 한 곡선을 그린다. 보드선도의 위상이 −180° 이고 크기가 1 인 순간이, 여기서는 곡선이 정확히 −1 점에 닿는 순간이다. 그래서 안정의 모든 질문이 이 한 점 −1 과 곡선의 관계로 모인다.

관찰Nyquist plot = L(jω) in the complex plane

L(jω) 를 복소평면에 점으로 그린다.

고르기Z = N + P : count encirclements of ?

Z = N + P, −1 감쌈을 센다.

빈칸open-loop stable: stable ⟺ encirclements = ?

열린 루프 안정이면 −1 안 감싸야 안정.

스스로curve passes through −1 at K = ?

곡선이 −1 을 지나는 것은 K=6.

−1 을 감싸는 횟수를 센다

나이퀴스트 판정법은 한 식으로 요약된다. Z = N + P. 여기서 Z 는 닫힌 루프의 우반면 극 수(우리가 0 이기를 바라는 값), P 는 열린 루프의 우반면 극 수, N 은 L(jω) 곡선이 −1 점을 시계 방향으로 감싸는 횟수다. 닫힌 루프 극은 1 + L(s) = 0 의 근인데, L 곡선이 −1 을 감싸는 것은 곧 1 + L 곡선이 원점을 감싸는 것과 같아서, 편각의 원리로 그 안의 근 수가 세어진다. 열린 루프가 안정하면(P = 0) 안정 조건은 단순히 N = 0, 곧 −1 을 한 번도 감싸지 않는 것이다. 이 예가 그렇다. K < 6 이면 곡선이 −1 오른쪽을 지나 감싸지 않으니 안정, K > 6 이면 −1 을 두 번 감싸 Z = 2, 우반면 극 두 개로 불안정이다.

나이퀴스트가 더 멀리 보는 곳

나이퀴스트의 힘은 P 가 0 이 아닌 경우, 곧 열린 루프가 이미 불안정한 시스템에서 드러난다. 그런 시스템은 보드선도의 단순한 여유만으로는 안정성을 바르게 가릴 수 없지만, 나이퀴스트는 Z = N + P 로 정확히 답한다. 예를 들어 열린 루프에 우반면 극이 하나 있으면(P = 1) 닫힌 루프가 안정(Z = 0)하려면 곡선이 −1 을 반시계 방향으로 정확히 한 번 감싸야 한다(N = −1). 피드백으로 불안정한 플랜트를 안정시키는 D4 의 상황을, 나이퀴스트는 −1 을 감싸는 방향과 횟수로 설명한다. 그리고 안정여유도 여기서 다시 보인다. 위상여유는 곡선이 단위원과 만나는 점에서 음의 실수축까지의 각, 이득여유는 곡선이 음의 실수축과 만나는 점에서 −1 까지의 거리다. 결국 곡선이 −1 에 얼마나 가까이 스치느냐가 강건성을 한눈에 말해 준다.

첫 화면으로 돌아가서

F1·F2·F3 와 같은 열린 루프 L(jω) 를 복소평면에 그려, 안정성을 −1 점과의 관계 하나로 보았다. 곡선은 음의 실수축을 −K/6 에서 지났다. K 가 6 보다 작을 때는 그 교차점이 −1 의 오른쪽이라 곡선이 −1 을 감싸지 않아 안정, K = 6 에서 정확히 −1 을 지나 임계, K 가 6 보다 클 때는 교차점이 −1 의 왼쪽으로 넘어가 −1 을 두 번 감싸 우반면 극 두 개로 불안정했다. 라우스는 계수로, 근궤적은 극의 길로, 보드선도는 주파수 여유로, 그리고 나이퀴스트는 −1 을 감싸는 횟수로, 같은 시스템의 같은 경계 K = 6 을 네 번째 시선으로 가리킨 것이다. 그리고 나이퀴스트만이 열린 루프가 이미 불안정한 경우까지 답할 수 있다.

나이퀴스트 선도는 열린 루프 L(jω) 를 주파수 ω 를 따라 복소평면에 그린 곡선이다. 나이퀴스트 판정: Z = N + P (여기서 Z=닫힌 루프 우반면 극, P=열린 루프 우반면 극, N=곡선이 −1 을 시계 방향으로 감싸는 횟수). 닫힌 루프 극은 1+L=0 의 근이라 −1 을 감쌈 = 1+L 이 원점을 감쌈(편각의 원리). 열린 루프 안정(P=0)이면 −1 을 안 감싸야(N=0) 안정이다. 예 L=K/(s(s+1)(s+2)) 는 음의 실수축을 −K/6 에서 지나, K<6 이면 −1 오른쪽(안정), K=6 이면 −1 통과(임계, GM=0), K>6 이면 −1 을 두 번 감쌈(우반면 극 2, 불안정). F1·F2·F3 과 같은 경계 K=6 을, 나이퀴스트는 P≠0 인 경우까지 일반화한다.

다음 유닛으로

여기까지 라우스, 근궤적, 보드선도, 나이퀴스트로 주어진 루프가 안정한지 또 얼마나 강건한지를 분석했다. 모두 이득 K 하나만 조절하는 비례 제어였다. 그런데 비례만으로는 정상상태 오차를 0 으로 만들 수도, 과도 응답을 마음대로 빚을 수도 없다. 다음 유닛 PID 제어에서는 제어기 자체에 동역학을 더한다. 적분 항은 오차가 남아 있는 한 계속 쌓여 정상상태 오차를 없애고, 미분 항은 변화를 미리 읽어 감쇠를 더한다. 비례·적분·미분 세 항의 이득을 조절해, 지금까지 본 극과 여유를 원하는 자리로 직접 빚어내는 설계로 들어간다.