SC · 제어

나이퀴스트 선도

안정성을 −1이라는 한 점과의 관계로 본다. 열린 루프 L(jω)를 주파수 ω에 따라 복소평면에 찍으면 한 곡선이 되고, 그 곡선이 −1 점을 몇 번 감싸는지 세면 닫힌 루프의 우반면 극 수를 알 수 있다. 이득 K를 움직이며 곡선이 −1의 오른쪽을 지나다가 −1을 넘어 왼쪽에서 감싸는 과정을 이 강에서 확인해요.

곡선이 −1 을 감싸는지 보기

F1, F2, F3 유닛과 같은 열린 루프 L(jω) = K/(jω(jω + 1)(jω + 2))를 복소평면에 그린 나이퀴스트 선도다. 진한 금색 곡선이 ω를 0.3에서 30까지 키울 때 L(jω)가 지나는 자리이고, 옅은 금색 곡선은 음의 주파수에 해당하는 거울상이며, 빨간 ×가 −1 점이에요. 곡선은 위상이 −180°가 되는 ω = √2에서 음의 실수축을 −K/6에서 지난다. 처음 K = 8에서는 그 교차점이 −1.33으로 −1의 왼쪽에 있어 곡선이 −1을 감싼다. 이득 K를 낮추면 곡선이 통째로 작아져 교차점이 오른쪽으로 물러나고, K < 6이면 −1을 감싸지 않아 안정, K = 6이면 정확히 −1을 지나는 임계, K > 6이면 다시 감싸 불안정해요.

복소평면 (× = −1, 곡선 = L(jω))

이득 K8.0

−1 과의 관계

K = 8.0 · 교차점 = -1.33 · GM = 0.75×

N = 2 · Z = 2 (P = 0)

곡선이 음의 실수축을 −1의 왼쪽(−K/6 < −1)에서 지나며 −1 점을 감싼다. 원점을 돌아가는 부분이 만드는 큰 반원까지 포함한 전체 곡선은 −1을 시계 방향으로 두 번 감싸고, 나이퀴스트 판정에서 이 두 번은 닫힌 루프의 우반면 극 두 개로 세어져요. F1 유닛의 라우스 부호 변화 두 번, F2 유닛에서 허수축을 넘은 복소 극 한 쌍과 같은 불안정이다.

불안정 (−1 감쌈)

루프를 복소평면에 그리다

보드 선도는 열린 루프 L(jω)의 크기와 위상을 주파수에 따라 따로 그렸다. 나이퀴스트 선도는 그 둘을 한 그림에 합친다. 주파수 ω마다 L(jω)는 크기와 위상을 가진 복소수 하나이니 그것을 복소평면의 한 점으로 찍고, ω를 0에서 무한대까지(그리고 대칭으로 음의 ω까지) 쓸면 점이 한 곡선을 그려요. 보드 선도에서 위상이 −180°이면서 크기가 1인 순간이 여기서는 곡선이 정확히 −1 점에 닿는 순간이다. 그래서 안정에 관한 모든 질문이 −1이라는 한 점과 곡선의 관계로 모인다.

관찰나이퀴스트 선도 = L(jω)를 그린 곳: 복소평면

L(jω)를 복소평면의 점으로 찍어 곡선을 그린다.

고르기Z = N + P : 감싸는 횟수를 세는 점: ?

Z = N + P, −1을 감싸는 횟수를 센다.

빈칸열린 루프가 안정할 때: 안정 ⟺ 감싸는 횟수 = ?

열린 루프가 안정하면 −1을 감싸지 않아야 안정하다.

스스로곡선이 −1 을 지나는 이득 K = ?

곡선이 −1을 지나는 이득은 K = 6이다.

−1 을 감싸는 횟수를 센다

나이퀴스트 판정법은 Z = N + P라는 한 식으로 요약된다. Z는 닫힌 루프의 우반면 극 수(0이기를 바라는 값), P는 열린 루프의 우반면 극 수, N은 L(jω) 곡선이 −1 점을 시계 방향으로 감싸는 횟수다. 닫힌 루프 극은 1 + L(s) = 0의 근인데, L 곡선이 −1을 감싸는 것은 1 + L 곡선이 원점을 감싸는 것과 같으므로 편각의 원리로 그 안의 근 수를 셀 수 있어요. 열린 루프가 안정하면(P = 0) 안정 조건은 N = 0, 곧 −1을 한 번도 감싸지 않는 것이고, 이 예가 그렇다. K < 6이면 곡선이 −1 오른쪽을 지나 감싸지 않으니 안정하고, K > 6이면 −1을 두 번 감싸 Z = 2, 우반면 극 두 개로 불안정하다.

나이퀴스트가 더 멀리 보는 곳

나이퀴스트 판정법의 힘은 P가 0이 아닌 경우, 곧 열린 루프가 이미 불안정한 시스템에서 드러난다. 그런 시스템은 보드 선도의 여유만으로는 안정성을 바르게 가릴 수 없지만, 나이퀴스트 판정법은 Z = N + P로 정확히 답한다. 열린 루프에 우반면 극이 하나 있으면(P = 1) 닫힌 루프가 안정(Z = 0)하려면 곡선이 −1을 반시계 방향으로 정확히 한 번 감싸야 하는데(N = −1), D4 유닛의 불안정한 플랜트에 이득 k를 건 L = k/(s − 1)이 바로 그렇다. 그 곡선은 −k와 0을 지름 끝으로 하는 원이라 k > 1일 때 −1을 반시계 방향으로 한 번 감싸고, 그래서 k > 1에서 닫힌 루프가 안정해져요. 안정여유도 여기서 다시 보이는데, 위상여유는 곡선이 단위원과 만나는 점에서 음의 실수축까지의 각이고, 이득여유는 곡선이 음의 실수축과 만나는 점에서 −1까지의 거리를 배수로 나타낸 것이다. 곡선이 −1에 얼마나 가까이 스치는지를 보면 강건성을 한눈에 가늠할 수 있다.

첫 화면으로 돌아가서

첫 화면에서는 F1, F2, F3 유닛과 같은 열린 루프 L(jω)를 복소평면에 그려 안정성을 −1 점과의 관계 하나로 보았다. 곡선은 음의 실수축을 −K/6에서 지났어요. K가 6보다 작을 때는 그 교차점이 −1의 오른쪽이라 곡선이 −1을 감싸지 않아 안정했고, K = 6에서는 정확히 −1을 지나 임계, K가 6보다 클 때는 교차점이 −1의 왼쪽으로 넘어가 −1을 두 번 감싸 우반면 극 두 개로 불안정했다. 라우스는 계수로, 근궤적은 극의 길로, 보드 선도는 주파수 여유로, 나이퀴스트 판정법은 −1을 감싸는 횟수로 같은 시스템의 같은 경계 K = 6을 가리킨 셈이다. 그중 열린 루프가 이미 불안정한 경우까지 답할 수 있는 것은 나이퀴스트 판정법뿐이다.

나이퀴스트 선도는 열린 루프 L(jω)를 주파수 ω에 따라 복소평면에 그린 곡선이다. 나이퀴스트 판정: Z = N + P(Z = 닫힌 루프 우반면 극 수, P = 열린 루프 우반면 극 수, N = 곡선이 −1을 시계 방향으로 감싸는 횟수). 닫힌 루프 극은 1 + L = 0의 근이어서 −1을 감쌈 = 1 + L이 원점을 감쌈이다(편각의 원리). 열린 루프가 안정(P = 0)하면 −1을 감싸지 않아야(N = 0) 안정하다. 예로 L = K/(s(s + 1)(s + 2))는 음의 실수축을 −K/6에서 지나, K < 6이면 −1의 오른쪽(안정), K = 6이면 −1을 통과(임계, 이득여유 0 dB), K > 6이면 −1을 두 번 감싼다(우반면 극 2개, 불안정). F1, F2, F3 유닛과 같은 경계 K = 6을, 나이퀴스트 판정법은 P ≠ 0인 경우까지 넓혀요.

다음 유닛으로

지금까지 라우스, 근궤적, 보드 선도, 나이퀴스트 선도로 주어진 루프가 안정한지, 또 얼마나 강건한지를 분석했다. 모두 이득 K 하나만 조절하는 비례 제어였다. 그런데 비례 이득 하나로는 플랜트에 적분기가 없는 한 계단 입력의 정상상태 오차를 0으로 만들 수 없고, 과도 응답을 마음대로 빚을 수도 없어요. 다음 유닛 PID 제어에서는 제어기 자체에 동역학을 더한다. 적분 항은 오차가 남아 있는 한 계속 쌓여 정상상태 오차를 없애고, 미분 항은 변화를 미리 읽어 감쇠를 더한다. 비례, 적분, 미분 세 항의 이득을 조절해 지금까지 본 극과 여유를 원하는 자리로 직접 빚어내는 설계로 들어간다.